Como resolver essa questão?

por **jmoura** » Sáb Mar 31, 2012 23:58

Me deparei com uma questão de uma prova antiga que não estou conseguindo resolver:

" Verifique se existe um número real L tal que a função f definida por

f(x)= $cos\left(\frac{1}{\sqrt[]{x}} \right). sen\left(\frac{\sqrt[]{x+1}-1}{\sqrt[]{x}} \right)$ , se x>0 e
f(x)= L, se x=0

é contínua no intervalo [0, + $\infty$ ). "

por **NMiguel** » Dom Abr 01, 2012 08:06

é continua em $[0,+\infty )$ se e só se $f(0)=\lim_{x \to 0}f(x)$ , ou seja, $L=\lim_{x \to 0}f(x)$ .

Como
$\lim_{x \to 0}f(x)= \lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}\right )\cdot \sin \left (\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot \sin \left (\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\right )$

$=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot \sin \left ( \frac{x+1-1}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1 \right )}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot \sin \left ( \frac{x+1-1}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1 \right )}\right )$

$=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{x}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1 \right )}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+1}\right )$

$\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot \sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot 0=0$

Assim, f(x)

é continua em $[0,+\infty )$ se e só se L=0

por **Fabio Wanderley** » Dom Abr 01, 2012 16:05

NMiguel escreveu: $\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot 0=0$

Achei interessante esse exercício. Nunca havia feito um igual. Mas na resolução dele, nesta passagem não precisaria afirmar que a função $cos\left(\frac{1}{\sqrt[]{x}} \right)$ é limitada, e aplicar o Teorema do Confronto para provar que o limite é igual a zero?

por **NMiguel** » Dom Abr 01, 2012 19:13

Sim. De facto é necessário. Sem isso, não poderíamos afirmar que este limite é igual a

. Obrigado pela observação.

Fica então um complemento à resolução.

$\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot 0=0$

Sabemos que $-1\leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\leq 1$ .

Assim, $-1 \cdot 0 \leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right ) \leq 1 \cdot 0$ , ou seja, $0 \leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right ) \leq 0$ .

Daqui, sai que $\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}} \right )\cdot 0=0$ .

Assim, fica completa a demonstração