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Como resolver essa questão?

Como resolver essa questão?

Mensagempor jmoura » Sáb Mar 31, 2012 23:58

Me deparei com uma questão de uma prova antiga que não estou conseguindo resolver:

" Verifique se existe um número real L tal que a função f definida por

f(x)= cos\left(\frac{1}{\sqrt[]{x}} \right). sen\left(\frac{\sqrt[]{x+1}-1}{\sqrt[]{x}} \right), se x>0 e
f(x)= L, se x=0

é contínua no intervalo [0, +\infty). "
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Re: Como resolver essa questão?

Mensagempor NMiguel » Dom Abr 01, 2012 08:06

f(x) é continua em \[[0,+\infty )\] se e só se \[f(0)=\lim_{x \to 0}f(x)\], ou seja, \[L=\lim_{x \to 0}f(x)\].

Como
\lim_{x \to 0}f(x)= \lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}\right )\cdot \sin \left (\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \sin \left (\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\right )

=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \sin \left ( \frac{x+1-1}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1  \right )}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \sin \left ( \frac{x+1-1}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1  \right )}\right )

=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{x}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1  \right )}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+1}\right )

\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot 0=0

Assim, f(x) é continua em \[[0,+\infty )\] se e só se L=0
Editado pela última vez por NMiguel em Dom Abr 01, 2012 19:14, em um total de 1 vez.
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Re: Como resolver essa questão?

Mensagempor Fabio Wanderley » Dom Abr 01, 2012 16:05

NMiguel escreveu:\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot 0=0


Achei interessante esse exercício. Nunca havia feito um igual. Mas na resolução dele, nesta passagem não precisaria afirmar que a função cos\left(\frac{1}{\sqrt[]{x}} \right) é limitada, e aplicar o Teorema do Confronto para provar que o limite é igual a zero?
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Re: Como resolver essa questão?

Mensagempor NMiguel » Dom Abr 01, 2012 19:13

Sim. De facto é necessário. Sem isso, não poderíamos afirmar que este limite é igual a 0. Obrigado pela observação.

Fica então um complemento à resolução.

\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot 0=0


Sabemos que -1\leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\leq 1.

Assim, -1 \cdot 0 \leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right ) \leq 1 \cdot 0, ou seja, 0 \leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right ) \leq 0.

Daqui, sai que \lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot 0=0.

Assim, fica completa a demonstração :)
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.


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