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Determinar o limite tendendo ao infinito.

Determinar o limite tendendo ao infinito.

Mensagempor Arthur_Bulcao » Sex Mar 23, 2012 17:34

Estou com dúvidas ao calcular o seguinte limite:

\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{\sqrt[3]{x^3+10}}

Se eu aplicar diretamente o valor de x, eu acabo tendo
\frac{\infty}{\infty} , que é um Símbolo de Indeterminação.

Qual seria um recurso indireto ideal para tal limite?

Eu havia pensado em fatorar a raiz, porém não sei como se faz fatoração de raízes com variáveis :-D .
Se pudessem me explicar como se faz a fatoração, e o limite, eu agradeço.


PS: A resposta do limite é 1.
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Re: Determinar o limite tendendo ao infinito.

Mensagempor nietzsche » Sex Mar 23, 2012 18:07

Você pode por o x^3 em evidência.

\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{\sqrt[3]{x^3( 1+10/x^3)}}
=>
\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{x\sqrt[3]{ 1+10/x^3)}} = 1
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Re: Determinar o limite tendendo ao infinito.

Mensagempor -civil- » Sex Mar 23, 2012 18:45

Outro jeito de resolver é assim:

\lim_{x\to\infty} \left\sqrt[3]{\frac{x^3}{(x^3 +10)}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}

Depois é só fatorar que vai dar 1 também.
-civil-
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Re: Determinar o limite tendendo ao infinito.

Mensagempor Arthur_Bulcao » Seg Mar 26, 2012 14:16

nietzsche escreveu:Você pode por o x^3 em evidência.

\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{\sqrt[3]{x^3( 1+10/x^3)}}
=>
\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\;\frac{x}{x\sqrt[3]{ 1+10/x^3)}} = 1


Realmente... Muito obrigado.
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Re: Determinar o limite tendendo ao infinito.

Mensagempor Arthur_Bulcao » Seg Mar 26, 2012 14:18

-civil- escreveu:Outro jeito de resolver é assim:

\lim_{x\to\infty} \left\sqrt[3]{\frac{x^3}{(x^3 +10)}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}

Depois é só fatorar que vai dar 1 também.


Mas na hora de substituir o x pelo Infinito, ali:
\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}

Não vai dar outra vez Infinito/Infinito, sendo outro SI?
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Re: Determinar o limite tendendo ao infinito.

Mensagempor LuizAquino » Ter Mar 27, 2012 13:05

Arthur_Bulcao escreveu:Mas na hora de substituir o x pelo Infinito, ali:
\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}

Não vai dar outra vez Infinito/Infinito, sendo outro SI?


Sim, há a indeterminação infinito/infinito. Para contorná-la, basta dividir o numerador e o denominador por x³.

\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \frac{\left(x^3\right):x^3}{\left(x^3 +10\right):x^3}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{10}{x^3}}} =  \sqrt[3]{\frac{1}{1 + 0}} = 1
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Re: Determinar o limite tendendo ao infinito.

Mensagempor Arthur_Bulcao » Qua Mar 28, 2012 19:08

LuizAquino escreveu:
Arthur_Bulcao escreveu:Mas na hora de substituir o x pelo Infinito, ali:
\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \left\frac{x^3}{(x^3 +10)}}

Não vai dar outra vez Infinito/Infinito, sendo outro SI?


Sim, há a indeterminação infinito/infinito. Para contorná-la, basta dividir o numerador e o denominador por x³.

\sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \frac{\left(x^3\right):x^3}{\left(x^3 +10\right):x^3}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{10}{x^3}}} =  \sqrt[3]{\frac{1}{1 + 0}} = 1



Certo! Dúvida saciada. :-D
Obrigado
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.