• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[derivadas] regra da cadeia

[derivadas] regra da cadeia

Mensagempor emsbp » Sex Mar 16, 2012 08:45

Bom dia.
O enunciado do exercício é: calcule a derivada total da seguinte função:
u = \frac{{e}^{ax}(y-z)}{({a}^{2}+1)}, sendo y =a sen(x) e z= cos(x), com a constante. Está indicado como solução \frac{du}{dx} = {e}^{ax}sen(x).
No entanto, segundo a minha resolução, não consigo chegar ao resultado apresentado.
Segue agora como resolvi:

\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{du}{dz}\frac{dz}{dx}.
ora, \frac{du}{dy} = \frac{{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)}
\frac{dy}{dx} = a cos(x)
\frac{du}{dz}=\frac{-{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)}
\frac{dz}{dx}=-sen(x)
Logo, \frac{du}{dx}=\frac{{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)}acos(x)+\frac{{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)}sen(x) = \frac{{e}^{ax}}{({a}^{2}+1)} (acos(x)+sen(x))
Muito provavelmente, é necessário fazer simplificações e/ou substituições para chegar à solução dada, mas de momento não estou a ver como.
Peço ajuda.
Obrigado!
emsbp
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 53
Registrado em: Sex Mar 09, 2012 11:48
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática/Informática
Andamento: formado

Re: [derivadas] regra da cadeia

Mensagempor LuizAquino » Sex Mar 16, 2012 12:15

emsbp escreveu:Calcule a derivada total da seguinte função:
u = \frac{{e}^{ax}(y-z)}{({a}^{2}+1)}, sendo y =a sen(x) e z= cos(x), com a constante. Está indicado como solução \frac{du}{dx} = {e}^{ax}sen(x).


emsbp escreveu: No entanto, segundo a minha resolução, não consigo chegar ao resultado apresentado.
Segue agora como resolvi:

\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{du}{dz}\frac{dz}{dx}.


Aqui há um erro. Note que a função u depende de três variáveis: x, y e z. Além disso, temos que cada variável dessa depende de x. Ou seja, é como se tivéssemos x=f(x), y=g(x) e z=h(x).

Dessa forma, temos que:

\dfrac{du}{dx} = \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{d x}{d x} + \dfrac{\partial u}{\partial y}\dfrac{d y}{d x} + \dfrac{\partial u}{\partial z}\dfrac{d z}{d x}

Agora efetue os cálculos e você obterá a reposta correta.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: [derivadas] regra da cadeia

Mensagempor emsbp » Sex Mar 16, 2012 18:38

Muito obrigado!
Realmente "escapou-me" derivar em função de x.
emsbp
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 53
Registrado em: Sex Mar 09, 2012 11:48
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática/Informática
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 35 visitantes

 



Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D