[Derivadas - Aplicações]

por **Scheu** » Sex Mar 16, 2012 00:01

Ola! estou começando a aprender a utilização de derivadas, de modo geral a derivação parece fácil, contudo, muitas duvidas estão surgindo. Tenho o seguinte problema para resolver e gostaria de ajuda: " a função $Q(t)= -t{}^{3}+6t{}^{2}+5t$ expressa a quantidade de peças produzidas por um operário em t horas, numa fabrica. Determine:
a) a função que da a produção instantânea.
R- "achei" (me disseram) que a resposta é a derivada ( $Q(t)= -3t{}^{2}+12t+5$ ), contudo, gostaria de uma explicação de porque a simples derivação nos leva a achar produção instantânea?
b) para calcular a quantidade de peças produzidas em 2 horas devo simplesmente proceder a resolução da equação? Assim a resposta é: $Q(t)= -t{}^{3}+6t{}^{2}+5t Q(2)= -2{}^{3}+6.2{}^{2}+5.2 Q(2)=-8+24+10 Q(2)= 26$
c)Como faço para achar a quantidade Máxima de peças que o operário produz?
Desde já agradeço.

por **MarceloFantini** » Sex Mar 16, 2012 03:17

Se a quantidade de produtos num tempo t, a produção instantânea será dada por $\lim_{\Delta t \to 0} \frac{Q(t + \Delta t) - Q(t)}{\Delta t} = \frac{dQ(t)}{dt}$ . Ou seja, você pega variações da quantidade de produtos e divide pela variação do tempo. Quando esta variação é muito pequena, ou infinitesimal, diremos que é a derivada.

Se você quer apenas a quantidade de produtos em 2 horas, basta substituir na fórmula original. Porém, se quer a produção deverá substituir na derivada.

Por último, procure rever os teoremas de cálculo que dizem que os possíveis pontos de máximo e mínimo locais de uma função ocorrem quando sua primeira derivada é zero, ou seja $\frac{dQ(t)}{dt} = 0$ .

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