Ajuda com integral envolvendo tgx e sen^2x

por **kryzay** » Qua Mar 07, 2012 09:02

Fala galera blz?

Tava resolvendo alguns exercícios e me deparei com a seguinte integral:

$\int{\frac{tgx dx}{sen^2x}}$

A professora fez isso:

$\int{\frac{senx dx}{cosx*sen^2x}}$

$\int{\frac{senx dx}{cosx*(1-cos^2x)}}$

Até ai tudo bem mas olhem o que me deixou encabulado:

$\int{\frac{senx dx}{cosx}} - \int{\frac{senx dx}{cos^3x}}$

Não aceitei muito bem isso que ela fez. Isso é possível galera?

Obrigado.

por **LuizAquino** » Qua Mar 07, 2012 09:18

kryzay escreveu: $\int{\frac{senx dx}{cosx*(1-cos^2x)}}$

Até ai tudo bem mas olhem o que me deixou encabulado:

$\int{\frac{senx dx}{cosx}} - \int{\frac{senx dx}{cos^3x}}$

Não aceitei muito bem isso que ela fez. Isso é possível galera?

Não é possível.

Tipicamente, temos que:

$\dfrac{A}{B-C} \neq \dfrac{A}{B} - \frac{A}{C}$

Por outro lado, temos que:

$\dfrac{B-C}{A} = \dfrac{B}{A} - \frac{C}{A}$

por **kryzay** » Qua Mar 07, 2012 09:40

Sim sim Luiz, isso que eu pensei.

Porém você sabe alguma solução para resolver a integral?

O máximo que cheguei foi:

$\int \frac{dx}{senx*cosx}$

A partir daí garrei. =/

por **LuizAquino** » Qua Mar 07, 2012 10:16

kryzay escreveu:Sim sim Luiz, isso que eu pensei.

Porém você sabe alguma solução para resolver a integral?

O máximo que cheguei foi:

$\int \frac{dx}{senx*cosx}$

A partir daí garrei. =/

Volte ao seguinte ponto:

$\int \dfrac{\textrm{sen}\,x}{\cos x\left(1-\cos^2 x\right)}\, dx$

Use a substituição $u = \cos x$ e $du = -\,\textrm{sen}\, x \, dx$ :

$\int \dfrac{\textrm{sen}\,x}{\cos x\left(1-\cos^2 x\right)}\, dx = \int -\dfrac{1}{u\left(1-u^2\right)}\, du$

Use a técnica de frações parciais:

$\int -\dfrac{1}{u\left(1-u^2\right)}\, du = -\frac{1}{2}\int \dfrac{2}{u} - \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u} \, du$

Agora tente terminar a partir daí.

Observação

Para revisar a técnica de frações parciais que foi utilizada, eu gostaria de recomendar que você assista a videoaula "29. Cálculo I - Integração por Frações Parciais (Caso I e II)". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **kryzay** » Qua Mar 07, 2012 15:34

Muito obrigado Luiz. Embora eu não conheça a técnica de frações parciais, você já resolveu minha dúvida.

Hoje tenho aula com a professora, e vou retomar essa questão com ela.
Depois eu posto aqui o que ela falar.

Parabéns Luiz pelas aulas e pela dedicação.