]Derivada de uma função] derivada com raiz

por **Leandro_Araujo** » Ter Mar 06, 2012 01:11

Boa noite, estou com dificuldades em derivar a seguinte função $f(x)=\frac{x}{\sqrt[]{9-4x}}$

A resposta apresentada é a seguinte $f'(x)=\frac{9-2x}{\sqrt[]{(9-4x)^3}}$

Desde já agradeço!

por **LuizAquino** » Ter Mar 06, 2012 01:54

Leandro_Araujo escreveu:estou com dificuldades em derivar a seguinte função $f(x)=\frac{x}{\sqrt[]{9-4x}}$

Qual foi o seu desenvolvimento? Envie a sua tentativa para que possamos corrigi-la.

por **Leandro_Araujo** » Ter Mar 06, 2012 09:54

Derivando pela regra do quociente:
$f'(x)=\frac{\sqrt[]{9-4x}-x\frac{1}{2}{(9-4x)}^{\frac{-1}{2}}(-4)}{({\sqrt[]{9-4x}})^{2}}$ $f'(x)=\frac{\sqrt[]{9-4x}+2x\frac{1}{2}{(9-4x)}^{\frac{-1}{2}}}{({\sqrt[]{9-4x}})^{2}}$

Dessa parte em diante não sei se eu transformo as raízes em potência...tive algumas tentativas mas sem sucesso. As vezes quando o exercício tem resposta acaba nos prejudicando, fico tentando direcionar meu raciocínio para a resposta e travo.

por **LuizAquino** » Ter Mar 06, 2012 10:34

Leandro_Araujo escreveu:Derivando pela regra do quociente:
$f^\prime(x)=\dfrac{\sqrt{9-4x}-x\dfrac{1}{2}{(9-4x)}^{\frac{-1}{2}}(-4)}{\left(\sqrt{9-4x}\right)^2}$

Ok.

Leandro_Araujo escreveu: $f^\prime(x)=\dfrac{\sqrt{9-4x}+2x\dfrac{1}{2}{(9-4x)}^{\frac{-1}{2}}}{\left(\sqrt{9-4x}\right)^2}$

Aqui tem um erro de digitação. Você esqueceu de retirar o 1/2 que aparece multiplicando a segunda expressão.

O correto seria ficar:

$f^\prime(x)=\dfrac{\sqrt{9-4x}+2x{(9-4x)}^{\frac{-1}{2}}}{\left(\sqrt{9-4x}\right)^2}$

A partir daí, é só uma questão de manipulação algébrica.

Leandro_Araujo escreveu:Dessa parte em diante não sei se eu transformo as raízes em potência...

Você deve transformar a potência -1/2 em um radical.

$f^\prime(x)=\dfrac{\sqrt{9-4x}+\dfrac{2x}{\sqrt{9-4x}}}{\left(\sqrt{9-4x}\right)^2}$

Agora tente continuar o desenvolvimento. Comece efetuando a soma que aparece no numerador.

Leandro_Araujo escreveu:As vezes quando o exercício tem resposta acaba nos prejudicando, fico tentando direcionar meu raciocínio para a resposta e travo.

As respostas apresentadas nos livros tipicamente estão na forma mais simplificada possível.

Portanto, você precisa efetuar todas as simplificações.

Se você estiver com dificuldades em relação a isso, então eu recomendo que você revise os conteúdos do nível fundamental e médio.

Para ajudar nessa revisão, eu recomendo o canal do Nerckie:

http://www.youtube.com/nerckie

por **Leandro_Araujo** » Ter Mar 06, 2012 12:49

resolvendo a soma, tirei o m.m.c:
$f'(x)=\frac{\frac{{(\sqrt[]{9-4x}})^{2}+2x}{\sqrt[]{9-4x}}}{(\frac{\sqrt[]{9-4x}}{2})^{2}}$

retirando 9-4x

da raiz e somando com 2x e posteriormente invertendo o denominador e transformando a divisão em multiplicação encontrei:

$f'(x)=\frac{9-2x}{\sqrt[]{9-4x}}*\frac{1}{\sqrt[]{(9-4x)}}{2}$

Encontrando enfim a resposta apresentada.
$f'(x)=\frac{9-2x}{{\sqrt[]{(9-4x)}}^{3}}$

Bom minha dificuldade foi em complicar demais primeiro quando encontrei no denomidador uma raiz quadrada elevada a potencia 2, quis simplificar e acabou complicando o calculo. E aluno sempre que vê um número estranho acha que está tudo errado. Bom a lista de exercicios dada por meu professor é bem extensa, vou concluí-la e acho que vai servir como uma boa revisão sobre simplificação.
De qualquer maneira darei uma olhada nos videos indicados.

Agradeço pela luz!

por **LuizAquino** » Ter Mar 06, 2012 13:40

Leandro_Araujo escreveu:resolvendo a soma, tirei o m.m.c:
$f^\prime(x)=\frac{\frac{{(\sqrt{9-4x}})^{2}+2x}{\sqrt{9-4x}}}{(\frac{\sqrt{9-4x}}{2})^{2}}$

Ok. Mas há um errinho de digitação. Não existe aquele 2 sobre o radical do denominador. Isto é, a expressão correta é:

$f^\prime(x)=\dfrac{\dfrac{{(\sqrt{9-4x}})^{2}+2x}{\sqrt{9-4x}}}{(\sqrt{9-4x})^{2}}$

Leandro_Araujo escreveu:retirando 9-4x da raiz e somando com 2x e posteriormente invertendo o denominador e transformando a divisão em multiplicação encontrei:

$f^\prime(x)=\frac{9-2x}{\sqrt{9-4x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{(9-4x)}}{2}$

Ok. Mas há outro errinho de digitação. Aquele 2 no final deve estar elevando o radical no denominador. Isto é, a expressão correta é:

$f^\prime(x)=\frac{9-2x}{\sqrt{9-4x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{(9-4x)}^2}$

Leandro_Araujo escreveu:Encontrando enfim a resposta apresentada.

$f^\prime(x)=\frac{9-2x}{{\sqrt{(9-4x)}}^{3}}$

Ok.

Leandro_Araujo escreveu:Bom minha dificuldade foi em complicar demais primeiro quando encontrei no denomidador uma raiz quadrada elevada a potencia 2, quis simplificar e acabou complicando o calculo.

Neste caso, bastaria ter feito:

$f^\prime(x)=\dfrac{\sqrt{9-4x}+\dfrac{2x}{\sqrt{9-4x}}}{9-4x}$

$f^\prime(x)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{9-4x}^2 + 2x}{\sqrt{9-4x}}}{9-4x}$

$f^\prime(x)=\dfrac{\dfrac{9-2x}{\sqrt{9-4x}}}{9-4x}$

$f^\prime(x)=\dfrac{9-2x}{\sqrt{9-4x}}\cdot \dfrac{1}{9-4x}$

$f^\prime(x)=\dfrac{9-2x}{\sqrt{(9-4x)(9-4x)^2}}$

$f^\prime(x)=\dfrac{9-2x}{\sqrt{(9-4x)^3}}$

Leandro_Araujo escreveu:E aluno sempre que vê um número estranho acha que está tudo errado.

Esqueça isso! Você ainda fará muitos exercícios trabalhosos em Cálculo, que a primeira vista o desenvolvimento irá parecer "estranho".

Leandro_Araujo escreveu:Bom a lista de exercicios dada por meu professor é bem extensa, vou concluí-la e acho que vai servir como uma boa revisão sobre simplificação.

Com certeza vai.

Leandro_Araujo escreveu:De qualquer maneira darei uma olhada nos videos indicados.

Faça isso. Com certeza aquele canal pode lhe ajudar em diversos momentos do seu curso, sempre que você precisar revisar algum conteúdo de Matemática do ensino fundamental ou médio.

Por fim, se você desejar revisar os conceitos de Cálculo, então eu gostaria de indicar o meu canal:

http://www.youtube.com/LCMAquino