[Gradiente e derivada direcional]

por **dulifs** » Seg Out 31, 2011 15:22

Olá...

estava fazendo alguns exemplos sobre este assunto e me deparei com o seguinte exercicio:

Determine a equação da reta tangente à elipse: 2x^2 + y= 3 e paralela a reta: 2x + y = 5

sei calcular a reta tangente, mas não sei como fazer para a reta ser ao mesmo tempo tangente e paralela

Muito obrigada.

por **LuizAquino** » Seg Out 31, 2011 16:53

dulifs escreveu:Determine a equação da reta tangente à elipse: 2x^2 + y= 3 e paralela a reta: 2x + y = 5

Primeiro, a equação da elipse deve ser algo como 2x^2 + y^2= 3

(e não

como você escreveu) .

Dos conhecimentos de Geometria Analítica, sabemos que o vetor diretor da reta 2x+y = 5

é dado por $\vec{d} = (1,\,-2)$ .

Sendo assim, como a reta procurada é paralela a essa, o seu vetor diretor também deve ser $\vec{d}$ .

Dos conhecimentos de Cálculo, sabemos que $\nabla f(x_0,\,y_0)$ é ortogonal a curva $f(x,\,y) = c$ passando pelo ponto $(x_0,\,y_0)$ .

Nesse contexto, no ponto $(k,\,m)$ onde essa reta é tangente a elipse, deve ocorrer $\nabla f(k,\,m) \perp \vec{d}$ (ou seja, esses vetores são ortogonais). Sendo assim, devemos ter $\nabla f(k,\,m) \cdot \vec{d} = 0$ .

Fazendo $f(x,\,y) = 2x^2 + y^2$ , temos que:

$\nabla f(k,\,m) \cdot \vec{d} = 0$

$(4k,\,2m) \cdot (1,\,-2) = 0$

4k-4m = 0

Substituindo essa informação na equação da elipse, temos que:

2k^2 + k^2 = 3

$k = \pm 1$

Portanto, há duas retas tangentes. Uma passando por (1, 1) e outra passando por (-1, -1).

A equação vetorial dessas retas será:

$r_1 \,:\, X = (1,\,1) + t(1,\,-2)$

$r_2 \,:\, X = (-1,\,-1) + t(1,\,-2)$

Já a equação cartesiana dessas retas será:

$r_1 \,:\, 2x + y = 3$

$r_2 \,:\, 2x + y = -3$