[Cálculo 2] Taxa de variação

por **-civil-** » Qui Set 29, 2011 15:55

O raio de um cone circular reto aumenta 1,8 pol/s mas a altura decresce a taxa de 2,5 pol/s. Qual a taxa de variação do volume do cone, quando o raio vale 120 pol e altura h = 140 pol?

Eu li a matéria no Stewart mas não entendi muito bem. Eu simplesmente calculei as derivadas parciais em relação ao volume, no ponto (120,140). Está certo resolver desse jeito?

por **LuizAquino** » Sex Set 30, 2011 18:55

Sabemos que o volume de um cone circular reto, com raio da base r e altura h, é dado por $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ .

Podemos então enxergar o volume como uma função de duas variáveis, isto é, podemos escrever $V(r,\,h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ .

Nesse exercício, tanto o raio quanto a altura estão variando com o passar do tempo. Dessa forma, podemos enxergar o raio e a altura como funções do tempo.

Isso significa que no final das contas V também é uma função do tempo.

Aplicando então a regra da cadeia para derivar V em relação ao tempo, temos que:

$\frac{dV}{dt} = \frac{\partial V}{\partial r}\frac{dr}{dt} + \frac{\partial V}{\partial h}\frac{dh}{dt}$

Sendo assim, temos que:

$\frac{dV}{dt} = \frac{2\pi r h}{3}\frac{dr}{dt} + \frac{\pi r^2}{3}\frac{dh}{dt}$

Agora basta aplicar os dados do exercício, de onde temos que $\frac{dr}{dt} = 1,8$ , $\frac{dh}{dt} = -2,5$ , r = 120