Derivada

por **Moura** » Dom Set 11, 2011 02:05

Derivar:

$y=\frac{x.\sqrt[]{{x}^{2}+1}}{\left(x+1 \right){}^{\frac{2}{3}}}$

Desde já agradeço. :y:

por **Guill** » Dom Set 11, 2011 13:01

OBS: A derivada será representada por chaves:

[f(x)] = f '(x)

$y=\frac{x.\sqrt[]{x^2+1}}{{(x+1)}^{\frac{2}{3}}}$

Transformaremos tudo em potências:

$y=\frac{x{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x+1)}^{\frac{2}{3}}}$

Primeiro, devemos utilizar a regra do quociente:

$\left[y \right] = \frac{x{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}.\left[{(x+1)}^{\frac{2}{3}} \right] - \left[x{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}. \right].{(x+1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x+1)}^{\frac{4}{3}}}$

Agora, derive o primeiro com a regra da cadeia e o segundo com a regra do produto:

$\left[y \right] = \frac{x{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}.\frac{2}{3}.{(x+1)}^{\frac{-1}{3}} - \left(x.\left[{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}} \right]+{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}} \right){(x+1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x+1)}^{\frac{4}{3}}}$

Por fim, use a regra da cadeia novamente:

$\left[y \right] = \frac{x{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}.\frac{2}{3}.{(x+1)}^{\frac{-1}{3}} - \left(2x^2.\frac{1}{2}.{(x^2+1)}^{\frac{-1}{2}}+{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}} \right){(x+1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x+1)}^{\frac{4}{3}}}$

Simplificando:

$\left[y \right] = \frac{x{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}.\frac{2}{3}-x^2.{(x^2+1)}^{\frac{-1}{2}}-{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}}{{x+1}}$

$\left[y \right] = \frac{2x-x^2-1}{3(x+1)}$

Transformando a equação quadrática em polinômio:

$\left[y \right] = \frac{-(x-1)^2}{3(x+1)}$

por **Moura** » Dom Set 11, 2011 13:39

Desculpe não ter colocado a resposta:

$\frac{(x+3).\sqrt[]{x^2+1}}{3(x+1)^\frac{5}{3}}+\frac{x^2}{(x+1)^\frac{2}{3}.\sqrt[]{x^2+1}}$

Desde já agardeço a ajuda. :y:

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