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Limite fundamental

Limite fundamental

Mensagempor matmatco » Qui Set 01, 2011 11:04

olá, estou com dificuldade em resolver esse limite:

\lim_{x}\frac{{\epsilon}^{ax}-{\epsilon}^{bx}}{senax-senbx} ( lembrando o x está tendendo a zero)

tentei dividir tudo por senax+senbx mas não consegui, tentei fazendo \frac{\left({\epsilon}^{ax}-1 \right)-\left({\epsilon}^{bx}-1 \right)}{senax-senbx} mas não consegui sair disso alguem me explique como resolver obrigado.
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Re: Limite fundamental

Mensagempor LuizAquino » Qui Set 01, 2011 12:34

Dicas

Eu presumo que a ideia seja resolver esse limite sem usar a Regra de L'Hospital. Para isso, comece usando as sugestões abaixo.

No numerador escreva (e^{ax} - 1) - (e^{bx} -  1).

Já no denominador, use a identidade trigonométrica \textrm{sen}\,p - \,\textrm{sen}\,q = 2\,\textrm{sen}\,\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos \left(\frac{p+q}{2}\right) .

Em seguida, tente dividir o numerador e o denominador por uma expressão de modo a fazer aparecer o limite trigonométrico fundamental.

Além disso, veja as ideias discutidas no tópico abaixo. Você vai precisar aplicar uma estratégia semelhante.
[limite] Ajuda com limite!
viewtopic.php?f=120&t=5769#p19973

Tente terminar o exercício. Se você não conseguir, poste aqui até onde você conseguiu desenvolver com essas dicas.
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Re: Limite fundamental

Mensagempor matmatco » Qui Set 01, 2011 16:12

usei a identidade e encontrei uma resposta igual a 2, ai voltando ao limite ficou

x está tendendo a zero

\frac{\lim_{x}\left({\epsilon}^{ax}- 1 \right)- \left({\epsilon}^{bx} - 1 \right)}{2}= \frac{{\lim_{x}\left({\epsilon}^{a}-1 \right)}^{x}-{\left( {\epsilon}^{b}-1\right)}^{x}}{2}= \lim_{x}\left( \frac{{\epsilon}^{ax}-{1}^{x}}{2}\right)-\left( \frac{{\epsilon}^{bx}-{1}^{x}}{2}\right)

ai fiquei com duvida se eu posso fazer esses dois ultimos passos ...
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Re: Limite fundamental

Mensagempor LuizAquino » Qui Set 01, 2011 17:13

matmatco escreveu:usei a identidade e encontrei uma resposta igual a 2, ai voltando ao limite ficou
\frac{\lim_{x}\left({\epsilon}^{ax}- 1 \right)- \left({\epsilon}^{bx} - 1 \right)}{2}

Não fica somente isso.

Nós temos que:

\lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{\textrm{sen}\,ax - \,\textrm{sen}\,bx} = \lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{2\,\textrm{sen}\,\left[\frac{(a-b)x}{2}\right]\cos\left[\frac{(a+b)x}{2}\right]}

Dividindo o numerador e o denominador por \frac{(a-b)x}{2} (lembrando que devemos ter a\neq b), ficamos com

\lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{\textrm{sen}\,ax - \,\textrm{sen}\,bx} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{\frac{(a-b)x}{2}}}{\frac{2\,\textrm{sen}\,\left[\frac{(a-b)x}{2}\right]\cos\left[\frac{(a+b)x}{2}\right]}{\frac{(a-b)x}{2}}} = \frac{1}{a-b} \lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{x}

Podemos então escrever que:

\lim_{x\to 0}\frac{({e}^{ax} - 1) - ({e}^{bx} - 1)}{\textrm{sen}\,ax - \,\textrm{sen}\,bx} = \frac{1}{a-b}\left(\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{ax} - 1}{x} - \lim_{x\to 0}\frac{{e}^{bx} - 1}{x}\right)

Para continuar a resolução, veja a estratégia usada no tópico que indiquei acima.

Observação 1
Para inserir o "x tendendo a zero" no limite, use o comando LaTeX:
Código: Selecionar todos
x \to 0

O resultado desse comando é: x \to 0 .

Ou seja, para ter algo como \lim_{x\to a} f(x), usamos o comando LaTeX:

Código: Selecionar todos
\lim_{x\to a} f(x)


Observação 2

Vale lembrar também que é falsa a equação: e^{ax} - 1 = \left(e^{a}-1 \right)^x .
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Re: Limite fundamental

Mensagempor nietzsche » Sex Set 02, 2011 00:34

luiz,
se a= 0 a observação 2 é correta.
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Re: Limite fundamental

Mensagempor LuizAquino » Sex Set 02, 2011 08:30

nietzsche escreveu:luiz,
se a= 0 a observação 2 é correta.

De fato. Mas vale lembrar que apenas para x diferente de zero. Note que se a = x = 0 teríamos uma operação inválida no segundo membro.
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Re: Limite fundamental

Mensagempor matmatco » Qui Set 08, 2011 10:19

olá,
encontrei uma maneira mais facil e rapida de resolver , se dividir tudo por x encontramos direto a parte \lim_{x\to 0}\frac{\left({\epsilon}^{ax}-1 \right)\left({\epsilon}^{bx}-1 \right)}{x} ae já está resolvido o problema

obs: postarei a resolução completa na proxima

obrigado pela ajuda abraços
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.