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por Renato_RJ » Qua Ago 31, 2011 12:47
Bom dia amigos !!!
Estive sumido do fórum por motivos pessoais, mas estou voltando aos poucos.. rss..
Gostaria da ajuda dos amigos para solucionar um problema da minha aula de cálculo 2, segue abaixo:
Tenha uma sequência qualquer
tal que
, tenhamos a função
uma bijeção. Agora tenhamos uma sequência
tal que:
Afirmação:
Não consigo provar a afirmação, eu estou tentando usar a definição formal de limite, entendo que a bijeção vai trocar os elementos da série de posição, mas não consigo provar que essa alteração não altera o valor do limite. Alguém tem alguma dica para que eu possa continuar o problema ?
Desde já agradeço,
Renato.
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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Renato_RJ
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por nietzsche » Qua Ago 31, 2011 19:39
olá renato,
eu pensei no seguinte: se an converge para todo n suficientemente grande, então se pegarmos uma parte desses n termos (que é a fi aplicada neles), a seuqnência formada é uma subsequência dos an, portanto também converge, pois toda subsequência duma sequÊncia que converge converge. depois tento fazer no papel.
até mais.
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nietzsche
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por Renato_RJ » Qui Set 01, 2011 01:36
Interessante a tua dica...
O meu problema é provar que existe m > n tal que |bn - L|<
....
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Renato_RJ
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por nietzsche » Sex Set 02, 2011 00:24
Acho que você confundiu o "m>n" da definição de limite duma sequência.
Olha minha demonstração para o problema.
Queremos provar que dado
> 0, existe m>0, tal que,
se n > m, então
. (*)
Sabemos que para todo
> 0, existe M>0, tal que,
se n > M, então
.
Como
é uma bijeção, temos uma correspondência um a um entre
e n, para todo n natural. Ou seja que
e an tem o mesmo número de termos. Tomando m = M teremos que a partir de n>M a linha (*) acontece, que é o mesmo que
.
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nietzsche
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por LuizAquino » Sex Set 02, 2011 20:45
nietzsche escreveu:Queremos provar que dado
> 0, existe m>0, tal que,
se n > m, então
. (*)
Ok. Mas o abuso de notação com a igualdade pode confundir. Pode dar a impressão de que
ao invés de
como diz o exercício. Eu acredito que seria mais interessante colocar apenas
.
nietzsche escreveu:Sabemos que para todo
> 0, existe M>0, tal que,
se n > M, então
.
Ok.
nietzsche escreveu:Como
é uma bijeção, temos uma correspondência um a um entre
e n, para todo n natural.
Ok.
nietzsche escreveu:Ou seja que
e an tem o mesmo número de termos.
Ok.
nietzsche escreveu:Tomando m = M teremos que a partir de n>M a linha (*) acontece (...)
Aqui há um problema. Veja que na bijeção
nada garante que se i < j temos
. Nesse caso, nem todos os termos a partir de M necessariamente tornam (*) verdadeira.
Vamos então dividir em duas situações.
(Caso 1) é tal que se i < j temos
.
Como
é bijeção entre os naturais, dado M natural existe n* também natural tal que
.
Tomando-se agora n > n*, temos
e pela hipótese da convergência de
segue que
.
(Caso 2) é tal que existem i e j, com i < j, para os quais
.
De modo análogo ao que justificamos antes, dado M natural existe n* também natural tal que
.
Pelo fato de
ser bijeção entre os naturais, podemos afirmar que existem
finitos naturais i tais que
. Seja i* o maior dos naturais que torna essa desigualdade verdadeira. Façamos m = n* + i*.
Para n > m teremos que
, portanto pela hipótese da convergência de
segue que
.
-
LuizAquino
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por Renato_RJ » Sáb Set 03, 2011 03:53
Obrigado a ambos pela ajuda !!!
Eu estava atrapalhado com a bijeção, muito grato mesmo.. Entendi exatamente o que fazer neste caso, vou tentar escrever com as minhas palavras.
Abraços,
Renato.
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Renato_RJ
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Sequências
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
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