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[Integral] Integral funçao trigonometrica

[Integral] Integral funçao trigonometrica

Mensagempor ewald » Qua Ago 17, 2011 22:33

\int_{}^{}\frac{{cos}^{3}(x)}{{sen}^{4}(x)}dx

Bem estou fazendo calculo II e tenho esta questao pra fazer. Tentei botar a questao para \int_{}^{}{cotg}^{3}(x)cossec(x)dx mas nao me resolveu nada. No meu livro tem dicas para resolver questoes do tipo \int_{}^{}{tg}^{m}(x){sec}^{n}(x)dx entao nao sei se posso modificar e usar para questoes envolvendo cotg e cossec.

Bem me adiantei e tentei modificar o que dizia o livro. A resposta nao ficou certa, mas posso ter errado algo.

Minha resposta deu \frac{{-cossec}^{3}(x)}{3} +x +C

Resposta certa é :
\frac{-1}{3{sen}^{3}(x)} + \frac{1}{sen(x)} +C ou \frac{{-cossec}^{3}(x)}{3} + cossec(x) +C
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Re: [Integral] Integral funçao trigonometrica

Mensagempor LuizAquino » Qua Ago 17, 2011 23:05

Note que:
\int \frac{\cos^3 x}{\textrm{sen}^4\,x}\,dx = \int \frac{(1 - \,\textrm{sen}^2\, x )\cos x}{\textrm{sen}^4\,x}\,dx

Faça a substituição u = \textrm{sen}\, x e du = \cos x \,dx . Ficamos então com:

\int \frac{(1 - \,\textrm{sen}^2\, x )\cos x}{\textrm{sen}^4\,x}\,dx = \int \frac{1 - u^2}{u^4}\,du

Agora termine de resolver.
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Re: [Integral] Integral funçao trigonometrica

Mensagempor ewald » Qui Ago 18, 2011 00:54

Nossa muito obrigado, ajudou muito (como sempre).
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}