Integral - Cálculo de áreas

[AlbertoAM]

Desenhe o conjunto A e calcule a área:
A é o conjunto do plano limitado pela reta y=x, pelo gráfico de y=x³, com -1?x?1.
R.:Área=1/2

O gráfico que eu fiz:

Área=

No caso, faríamos (x³-x) e (x-x³) para delimitar a área hachurada na figura, correto?
Alguém poderia me mostra no que estou errando.

[LuizAquino]

Dica

A área da região hachurada na figura abaixo é: .

área-hachurada.png (6.65 KiB) Exibido 5991 vezes

[AlbertoAM]

Olá, não entendi porque essa área hachurada na sua figura equivaleria a área limitada pelo gráfico de f(x)=x³ e g(x)=x abaixo do eixo x.De um modo mais fácil eu poderia ter só calculado essa integral: e multiplicado por 2.O que estaria de errado na minha resolução, não teriamos que fazer (x³-x) e (x-x³) para delimitar a área?

[MarceloFantini]

Procure interpretar assim Alberto: a área hachurada do lado esquerdo pode ser entendida como a área da função até o eixo x menos a área da função até o eixo x. Analogamente para o caso de cima. Tente refazer.

Dica: note que as áreas são idênticas.

[LuizAquino]

Olá, não entendi porque essa área hachurada na sua figura equivaleria a área limitada pelo gráfico de f(x)=x³ e g(x)=x abaixo do eixo x.

Note que na figura não há a função g(x) = x. Há apenas a função f(x) = x³. A região em destaque está simplesmente acima da função f e abaixo do eixo x.

Usando a mesma ideia, a área da região hachurada abaixo, que está acima da função g e abaixo do eixo x, é dada por: .

área-hachurada2.png (2.69 KiB) Exibido 5963 vezes

Agora, reflita sobre a questão: usando essa informação e a dica anterior, como calcular a área da região delimitada por f e g no intervalo [-1, 0]?

De um modo mais fácil eu poderia ter só calculado essa integral: e multiplicado por 2.

Sim. Você poderia fazer dessa forma devido a simetria da região.

O que estaria de errado na minha resolução, não teríamos que fazer (x³-x) e (x-x³) para delimitar a área?

Após responder a questão acima você deverá perceber o seu erro.

[AlbertoAM]

Agora, reflita sobre a questão: usando essa informação e a dica anterior, como calcular a área da região delimitada por f e g no intervalo [-1, 0]?

Então, nesse contexto teríamos:Área=

Então na minha resolução eu deveria ter procedido da seguinte maneira:
Área=

Não havendo a necessidade de colocar o sinal de menos antes da primeira integral, pois temos f(x)=x³ e g(x)=x, com f(x)?g(x) no intervalo de [-1,0].Logo ao fazermos (x³-x) garantimos uma área positiva.