Integral - Cálculo de áreas

por **AlbertoAM** » Ter Jun 28, 2011 00:25

Desenhe o conjunto A e calcule a área:
A é o conjunto do plano limitado pela reta y=x, pelo gráfico de y=x³, com -1?x?1.
R.:Área=1/2

O gráfico que eu fiz:

Área= $-\int_{-1}^{0}(x^3-x)dx + \int_{0}^{1}(x-x^3)dx=0$

No caso, faríamos (x³-x) e (x-x³) para delimitar a área hachurada na figura, correto?
Alguém poderia me mostra no que estou errando.

por **LuizAquino** » Ter Jun 28, 2011 11:09

Dica

A área da região hachurada na figura abaixo é: $-\int_{-1}^0 x^3\,dx$ .

: área-hachurada.png (6.65 KiB) Exibido 5989 vezes

por **AlbertoAM** » Ter Jun 28, 2011 16:01

Olá, não entendi porque essa área hachurada na sua figura equivaleria a área limitada pelo gráfico de f(x)=x³ e g(x)=x abaixo do eixo x.De um modo mais fácil eu poderia ter só calculado essa integral: $\int_{0}^{1}(x-x^3)dx=\frac{1}{4}$ e multiplicado por 2.O que estaria de errado na minha resolução, não teriamos que fazer (x³-x) e (x-x³) para delimitar a área?

por **MarceloFantini** » Ter Jun 28, 2011 19:21

Procure interpretar assim Alberto: a área hachurada do lado esquerdo pode ser entendida como a área da função y=x

até o eixo x menos a área da função y=x^3

até o eixo x. Analogamente para o caso de cima. Tente refazer.

Dica: note que as áreas são idênticas.

por **LuizAquino** » Qua Jun 29, 2011 09:35

AlbertoAM escreveu:Olá, não entendi porque essa área hachurada na sua figura equivaleria a área limitada pelo gráfico de f(x)=x³ e g(x)=x abaixo do eixo x.

Note que na figura não há a função g(x) = x. Há apenas a função f(x) = x³. A região em destaque está simplesmente acima da função f e abaixo do eixo x.

Usando a mesma ideia, a área da região hachurada abaixo, que está acima da função g e abaixo do eixo x, é dada por: $-\int_{-1}^0 x \, dx$ .

: área-hachurada2.png (2.69 KiB) Exibido 5961 vezes

Agora, reflita sobre a questão: usando essa informação e a dica anterior, como calcular a área da região delimitada por f e g no intervalo [-1, 0]?

AlbertoAM escreveu:De um modo mais fácil eu poderia ter só calculado essa integral: $\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\frac{1}{4}$ e multiplicado por 2.

Sim. Você poderia fazer dessa forma devido a simetria da região.

AlbertoAM escreveu:O que estaria de errado na minha resolução, não teríamos que fazer (x³-x) e (x-x³) para delimitar a área?

Após responder a questão acima você deverá perceber o seu erro.

por **AlbertoAM** » Qua Jun 29, 2011 20:44

Agora, reflita sobre a questão: usando essa informação e a dica anterior, como calcular a área da região delimitada por f e g no intervalo [-1, 0]?

Então, nesse contexto teríamos:Área= $-\int_{-1}^{0}(x-x^3)dx=\frac{1}{4}$

Então na minha resolução eu deveria ter procedido da seguinte maneira:
Área= $\int_{-1}^{0}(x^3-x)dx + \int_{0}^{1}(x-x^3)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0}+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}=\\=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

Não havendo a necessidade de colocar o sinal de menos antes da primeira integral, pois temos f(x)=x³ e g(x)=x, com f(x)?g(x) no intervalo de [-1,0].Logo ao fazermos (x³-x) garantimos uma área positiva.