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Dúvida Assíntotas e Pontos de descontinuidade

Dúvida Assíntotas e Pontos de descontinuidade

Mensagempor Dominique » Sáb Mai 28, 2011 15:15

Olá,

Faço Administração na UERGS e tenho uma cadeira de Cálculo. Estou com muita dificuldade em uma questão que pede para indicar as assintotas verticais e horizontais e também os pontos de descontinuidade. Já pesquisei em vários materiais mas nenhum foi realmente esclarecedor para a minha dúvida. Aliás, só me deixou com mais dúvidas.

A questão trata da função: y(x)=\frac{1}{{x}^{2}-x-6}+2

Por fim pede valores da abcissa para os quais o limite não existe.

Já tentei algumas maneiras, mas chega em um ponto que não dá mais certo.
Gostaria de uma maneira correta para resolução.

Desde já, grata.
Dominique
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Re: Dúvida Assíntotas e Pontos de descontinuidade

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mai 28, 2011 18:36

Vamos supor que você tenha uma função do tipo f(x) = \frac{n(x)}{d(x)}, sendo que n(x) e d(x) são funções contínuas.

A função f apenas será descontínua em algum valor x se d(x) = 0.

No seu exercício, a função será descontínua caso x^2 - x - 6 = 0.

Uma assíntota vertical ao gráfico de f ocorre quando pelo menos um dos limites abaixo for verdadeiro:
(i) \lim_{x\to c} f(x) = \infty
(ii) \lim_{x\to c^-} f(x) = \infty
(iii) \lim_{x\to c^+} f(x) = \infty
Nesse caso, dizemos que a equação da assíntota vertical é dada por x = c.

No seu exercício, basta analisar se há algum ponto c para o qual um dos limites acima acontece. Aqui fica uma dica: se \lim_{x\to c} d(x) = 0, então a função f(x)=\frac{1}{d(x)} tem uma assíntota vertical dada por x = c.

Por outro lado, uma assíntota horizontal ao gráfico de f ocorre quando pelo menos um dos limites abaixo for verdadeiro:
(i) \lim_{x\to +\infty} f(x) = c
(ii) \lim_{x\to -\infty} f(x) = c
Nesse caso, dizemos que a equação da assíntota horizontal é dada por y = c.

No seu exercício, basta você calcular o limite \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{{x}^{2}-x-6}+2. Para isso, aqui vai outra dica: divida tanto o numerador quanto o denominador da fração por x^2. Em seguida, lembre-se que \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^k} = 0 (com k natural não nulo).

Por fim, dizemos que um limite não existe quando os seus limites laterais são distintos. Isto é, o limite \lim_{x\to c} f(x) não existe caso \lim_{x\to c^-} f(x) \neq \lim_{x\to c^+} f(x) .

Sugestão
Eu gostaria de recomendar que você assista as vídeo-aulas "04. Cálculo I - Limites e Continuidade", "05. Cálculo I - Limites Infinitos" e "06. Cálculo I - Limites no Infinito". Elas estão disponíveis em meu canal:
http://www.youtube.com/LCMAquino
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D