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Limite trigonometrico indeterminado

Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor ewald » Qui Mai 26, 2011 15:15

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-{cos}^{4}x}{{x}^{2}}


Oi alguem pode ajudar com a resoluçao deste limite,, ja tentei botar o numerador para algo parecido com sen²x + cos²x = 1 ;;; ja tentei botar no limite fundamental \lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x} = 1 mas nao deu nada certo. Tentei tambem multiplicar pelo conjugado e nada.



Alguem por favor pode ajudar
ewald
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 26, 2011 15:31

Dica

Note que: 1 - \cos^4 x =  (1 - \cos^2 x)(1 + \cos^2 x) .
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor ewald » Qui Mai 26, 2011 15:43

Nossa ,, mania de pensar sempre as coisas mais complicadas primeiro.

Brigadao,, ajudou muito!
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor Claudin » Qui Mai 26, 2011 16:56

\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cos^4x}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-cos^2x)(1+cos^2x)}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(sen^2x)(-sen^2x)}{x^2}

(\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^2x}{x}). (\lim_{x\rightarrow0}\frac{(-sen^2x)}{x}) = (\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^2x}{x}) . (\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{sen^2x})

\lim_{x\rightarrow0} \frac{sen^2x^2}{sen^2x^2} = 1

seria essa a resposta?
Editado pela última vez por Claudin em Qui Mai 26, 2011 17:34, em um total de 3 vezes.
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor FilipeCaceres » Qui Mai 26, 2011 17:23

Resposta:
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-{cos}^{4}x}{{x}^{2}}=2
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor Claudin » Qui Mai 26, 2011 21:56

Não sei se tem algo haver
mas o limite sendo de uma função trigonométrica poderia aceitar o valor 2?
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor FilipeCaceres » Qui Mai 26, 2011 22:00

(\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^2x}{x}). (\lim_{x\rightarrow0}\frac{(-sen^2x)}{x}) = (\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^2x}{x}) . (\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{sen^2x})


Cuidado!!
\lim_{x\rightarrow0}\frac{(-sen^2x)}{x} \neq \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{sen^2x}
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor Claudin » Qui Mai 26, 2011 22:12

Agora que notei esse erro!


\lim_{x\rightarrow0}\frac{sen^4x}{x^2}


Iria ficar assim então? E para proceder?
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor FilipeCaceres » Qui Mai 26, 2011 22:20

Eu resolveria assim,
\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-cos^4x}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-cos^2x)(1+cos^2x)}{x^2} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(sen^2x)}{x^2}.(1+cos^2x)

\lim_{x\rightarrow 0} \left(\frac{senx}{x}\right)^2.(1+cos^2x)=\left(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x}\right)^2.\lim_{x\rightarrow 0}(1+cos^2x)=1^2.2=2

Espero que seja isso.
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mai 28, 2011 19:06

Claudin escreveu:Não sei se tem algo haver
mas o limite sendo de uma função trigonométrica poderia aceitar o valor 2?

Você está confundindo os conceitos sobre funções trigonométricas. Eu recomendo que você faça uma revisão sobre esse conteúdo. Por exemplo, assista a vídeo-aula abaixo sobre a função cosseno:
Aula sobre Função Cosseno
http://www.youtube.com/watch?v=ah4kMSpI7fY
Aproximadamente a partir dos 4:37 começa uma explicação que está relacionada a essa sua dúvida.
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor Claudin » Dom Mai 29, 2011 01:27

Notei meu erro la em cima

quando substitui 1 + cos^2x por -sen^2x

o que está errado!

Abraço
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Re: Limite trigonometrico indeterminado

Mensagempor MarceloFantini » Dom Mai 29, 2011 02:32

Para verificar, pegue um valor simples e verá que está errado, como 0: 1 + cos^2 0 = 1 + 1 = 2 \neq - sen^2 0 = 0. Se ainda assim não acreditar, tente montar a relação fundamental e verá que está errado.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D