Limite indeterminado

por **ewald** » Ter Mai 17, 2011 15:40

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt[2]{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x}$

To com dificuldade nessa. Eu to tentando fazer dividindo em cima e em baixo por x² e assim ficar com 2 no denominador (se nao tiver errado no calculo), porem o problema é na raiz. Na raiz eu devo dividir por x² ou por $\sqrt[2]{{x}^{4}}$ ... Se puder resolver esta questao pra mim eu agradeço!

por **Claudin** » Ter Mai 17, 2011 18:51

fiz rapidao aqui e achei $\frac{3}{2}$

mas vo ter q sair aqui, dps eu faço com mais calma, e posto aqui.

abraço

por **LuizAquino** » Qua Mai 18, 2011 11:35

Dê uma olhada na propriedade de radiciação discutida no tópico:
Exercicio de Limite - Duvida
viewtopic.php?f=120&t=4759

O valor correto desse limite é:
$\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$

por **Claudin** » Qua Mai 18, 2011 11:50

Nao poderia fazer eliminando a raiz
elevando tanto o denominador quanto o numerador ao quadrado. E dps
dividir ambos pelo maior expoente?

por **LuizAquino** » Qua Mai 18, 2011 11:55

Claudin escreveu:Nao poderia fazer eliminando a raiz
elevando tanto o denominador quanto o numerador ao quadrado. E dps
dividir ambos pelo maior expoente?

É claro que não!

Se você elevar o numerador e o denominador ao quadrado você altera a fração original!

Por exemplo, note que $\frac{5}{2} \neq \frac{5^2}{2^2}$ .

por **Claudin** » Qua Mai 18, 2011 12:03

Nao consegui chegar no resultado correto entao!
Se tiver como discriminar melhor o limite, eu agradeço!

abraço

por **LuizAquino** » Qua Mai 18, 2011 12:40

A estratégia para resolver esse limite já foi dita acima: dividir tanto o numerador quanto o denominador por x². Vale lembrar que será necessário usar uma propriedade de radiciação como já citei anteriormente.

por **Claudin** » Qua Mai 18, 2011 13:01

Agora sim compreendi!
Obrigado

por **ewald** » Qua Mai 18, 2011 14:14

Obrigado !!

por **FilipeCaceres** » Qua Mai 18, 2011 14:36

Seja
$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

onde $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ..... + a_0$ e $Q(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ..... + b_0$ são polinômios de coeficientes reais de graus n e m, respectivamente, isto é $a_n \neq 0$ e $b_m \neq 0$ . Então:

$\lim_{x\rightarrow \pm\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}=\left\{\begin{matrix} \pm \infty&se&n>m\\ \frac{a_n}{b_m} &se& n=m\\ 0& se&n<m \end{matrix}\right.$

Para questão temos,
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x}=\sqrt{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^4-7x+1}{4x^4-4x^3+x^2}}-\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{2x^2-x}$

Logo,
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x}=\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

PS:Editei para corrigir os erros de digitação.

Espero ter contribuído com algo.

por **LuizAquino** » Qua Mai 18, 2011 15:10

FilipeCaceres reveja a sua resolução:

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x}=\sqrt{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^4-7x+1}{4x^4-4x^3+x^2}}-\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{2x^2-x}$

por **FilipeCaceres** » Qua Mai 18, 2011 15:18

Além do erro de digitação tem algum erro conceitual?

No lugar do 1 é um x, mas em nada se altera o resultado.
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x}=\sqrt{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^2-7x+1}{4x^4-4x^3+1}}-\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{2x^2-\fbox{1}}$

Corrigido
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x}=\sqrt{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^2-7x+1}{4x^4-4x^3+1}}-\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{2x^2-x}$

Abraço.

por **LuizAquino** » Qua Mai 18, 2011 15:38

Não há erro conceitual.

Os erros são:
1) No numerador dentro do radical deve aparecer 2x^4

ao invés e 2x^2

.
2) No denominador dentro do radical deve aparecer (2x^2-x)^2 = 4x^4 -4x^3 + x^2

.
3) No denominador da segunda parcela (sem o radical) deve aparecer -x ao invés de -1.

por **FilipeCaceres** » Qua Mai 18, 2011 15:47

Nossa escrevi tudo errado.
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x}=\sqrt{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^{\fbox{2}}-7x+1}{4x^4-4x^3+\fbox{1}}}-\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{2x^2-x}$

Corrigido.
$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{2{x}^{4}-7x+1}-{x}^{2}}{2{x}^{2}-x}=\sqrt{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^4-7x+1}{4x^4-4x^3+x^2}}-\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{2x^2-x}$

Valeu.

Abraço.

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