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Duvida limite indeterminado

Duvida limite indeterminado

Mensagempor ewald » Seg Mai 09, 2011 17:20

Oi tenho essa duvida,, ja tentei de todas as formas que eu imaginei, ja vi aulas no youtube etc. O problema dessa é que tem uma raiz cubica. Eu consigo resolver de raiz quadrada, raiz quarta ... mais de impares eu me confundo. Alguem pode por favor resolver pra mim. *-)

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{{(1+2x)}^{1/3}-1}{x}
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Re: Duvida limite indeterminado

Mensagempor LuizAquino » Seg Mai 09, 2011 20:01

Como sempre, é uma questão de usar produtos notáveis.

Sabemos que:
a^3 - b^3 = (a - b)\left(a^2 + ab + b^2\right).

Desse modo, você precisa multiplicar o numerador e o denominador por:
\left(\sqrt[3]{(1+2x)^2} + \sqrt[3]{1+2x} + 1\right)

Note que fazendo isso você fará com que no numerador apareça o produto notável desejado:
\left(\sqrt[3]{1+2x} - 1\right)\left(\sqrt[3]{(1+2x)^2} + \sqrt[3]{1+2x} + 1\right) = \left(\sqrt[3]{1+2x}\right)^3 - 1^3 = 2x

Podemos também usar outra estratégia. Façamos a substituição de variáveis: u = \sqrt[3]{1+2x}. Teremos que quando x tende para 0, u tenderá para 1. Além disso, temos que x = \frac{u^3-1}{2}. Desse modo, o limite original é equivalente a:

\lim_{u\to 1} \frac{2(u - 1)}{u^3 - 1} .

Note que de novo você usará o produto notável indicado anteriormente.
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Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Soprano - Sex Mar 04, 2016 09:49

Olá,

O resultado é igual a 1, certo?