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Limite indeterminado 0/0

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Mensagempor ewald » Qui Mai 05, 2011 19:08

\lim_{x\rightarrow 1}  \frac{\sqrt[2]{x} -{x}^{2}}{1 -\sqrt[2]{x}}

Oi preciso de uma forma de se resolver este limite SEM o uso de L'hopital. Agradeço tmb se puderem deixar alguns dos 'macetes' para extrair a indeterminaçao de limites.

Caso LCMAquino esteja lendo : Gostei muito das tuas aulas no youtube, no entanto nao achei alguma que se dedique a mostrar metodos de extraçao da indeterminaçao do limite em questoes mais elaboradas, que sem duvidas é a parte de limites que mais causa duvidas (pra mim essa que eu botei ja é elaborada! ¬¬' ).

Obs.: desculpa os erros de portugues!
ewald
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Re: Limite indeterminado 0/0

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 05, 2011 19:41

\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x} -{x}^{2}}{1 -\sqrt{x}} = \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{x} -{x}^{2})(1+\sqrt{x})}{(1 -\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}

= \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{x} -{x}^{2})(1+\sqrt{x})}{1 - x}

= \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{x} -{x}^{2})(1+\sqrt{x})(\sqrt{x}+x^2)}{(1 - x)(\sqrt{x}+x^2)}

= \lim_{x\to 1}  \frac{(x -x^4)(1+\sqrt{x})}{(1 - x)(\sqrt{x}+x^2)}

= \lim_{x\to 1} \frac{x(1 - x^3)(1+\sqrt{x})}{(1 - x)(\sqrt{x}+x^2)}

= \lim_{x\to 1} \frac{x(1-x)(1+x+x^2)(1+\sqrt{x})}{(1 - x)(\sqrt{x}+x^2)}

= \lim_{x\to 1} \frac{x(1+x+x^2)(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}+x^2}

\frac{1\cdot(1+1+1^2)(1+\sqrt{1})}{\sqrt{1}+1^2} = 3

ewald escreveu:Caso LCMAquino esteja lendo : Gostei muito das tuas aulas no youtube, no entanto não achei alguma que se dedique a mostrar métodos de extração da indeterminação do limite em questões mais elaboradas, que sem duvidas é a parte de limites que mais causa dúvidas (pra mim essa que eu botei já é elaborada! ¬¬' ).

Fico feliz que você tenha gostado de minhas vídeo-aulas. :)

Na verdade, para que o aluno consiga calcular os limites é necessário que ele esteja dominando os conteúdos de ensino fundamental e médio. Principalmente simplificações de expressões algébricas, fatoração, racionalização, produtos notáveis e divisão de polinômios. Caso você não esteja dominando esses conteúdos eu recomendo que você assista ao canal do Nerckie:
http://www.youtube.com/nerckie
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.