ploblema

por **johnny** » Ter Abr 12, 2011 00:46

Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de
900 m de largura até uma fabrica situada do outro lado do rio, 3000 m rio abaixo. O
custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para
estende-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico
para o cabo? tentei resouver assim
C t= C rio +C terra
C t= R$ 5,00 . R + R$ 4.00 .T
C t= 5.00.\sqrt[]{{900}^{2}+{x}^{2}}. 4.00.(3000-x)
C t= 5.00.({900}^{2}+{x}^{2})^{1/2} + 4.00 . (3000-x)
e agora derivo. so consegui chegar ate aqui, fiz alguns cauculo, mas n deu serto.

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 12, 2011 00:52

Poderia arrumar a tua equação, não dá para ver nada.

Abraço.

por **johnny** » Ter Abr 12, 2011 00:54

n to conceguindo postar meu rasocinio.

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 12, 2011 00:57

Faz o seguinte, apenas tire os tex /tex para que possamos ver o que vc esta errando.

Abraço

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 12, 2011 00:58

Eu acho que eu você colocou [/tex] a mais e por isso deve estar dando erro.

por **johnny** » Ter Abr 12, 2011 01:12

deu para ver agora,

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 12, 2011 01:25

O objetivo é minimizar o custo de instalação do cabo. Logo, precisamos construir a função custo.
Arrumando a tua equação :-P

$C_t= 5\sqrt{({900}^{2}+{x}^{2})} + 4.(3000-x)$

Observe que x e 3.000 – x não podem ser negativos, a região de interesse (domínio do problema) é o
intervalo [0, 3.000], onde devemos encontrar o mínimo absoluto de C.
Agora é só derivar C e igualar a zero para encontrar seus pontos críticos.

Abraço qualquer coisa poste a sua dúvida.

por **johnny** » Ter Abr 12, 2011 01:37

para resolver a derivada troco a raiz por e elevo a 1/2,

por **johnny** » Ter Abr 12, 2011 01:44

n com sigo resolver a derivada.

pode me ajudar

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 12, 2011 01:45

Esta vai ser a derivada,

$C'_t=\frac{5x}{\sqrt{900^2+x^2}}-4$

Tente chegar nela, se tiver dúvida poste novamente.

Abraço.

por **johnny** » Ter Abr 12, 2011 02:00

n consegui chegar ate essa derivada, mas continuei a resouver. ficol assim.
$\sqrt[]{{900}^{2}+{x}^{2}}=5x-4$
corta-se a raiz
900+x=5x-4
900+4=5x-x
4x=904
x=904/4
x=226
esta correto

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 12, 2011 02:11

Fazendo

temos,
$\frac{5x}{\sqrt{900^2+x^2}}=4$

$\frac{5x}{4}=\sqrt{900^2+x^2}$

Elevando ao quadrado, temos

$900^2+x^2=\frac{25x^2}{16}$

$x^2=\frac{900^2.16}{9}$

$x=\pm12000$

Como x deve ser positivo e 1.200

$\epsilon [0, 3.000]$ , segue que é o único ponto crítico de C, no domínio
de interesse.

Para saber se é mínimo absoluto precisamos comparar o valor de C neste ponto com
os valores nos extremos do domínio. Assim, temos:

C(0) = 16.500,00

,

e

.

Portanto, que o custo mínimo para a instalação do cabo será de R$ 14.700,00 e, para obtê-lo,
o cabo deverá percorrer 1.800 metros por terra, a partir da fábrica, e depois ir por água até a usina.

Abraço.

por **johnny** » Ter Abr 12, 2011 02:20

se n for pedir muito gostaria de entender como vc chegou aquela derivada, pode me ensinar apartir da equação

por **FilipeCaceres** » Ter Abr 12, 2011 10:09

Vou mostrar para um caso.
$\frac{d}{dx}(k \sqrt{x^2+y^2})$

Como k é uma constante temos,
$k (\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+y^2}))$

$\frac{x}{dx}(\sqrt{x^2+y^2}) = \frac{d \sqrt{u}}{ du} \frac{ du}{ dx}$ , então u = x^2+y^2

logo,

$\frac{ d \sqrt {u}}{ du} = \frac{1}{2 \sqrt{u}}$

$=k \frac{\frac{d}{dx}(x^2+y^2)}{2 \sqrt{x^2+y^2}}$

$=k \frac{\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)}{2 \sqrt{x^2+y^2}}$

$=k \frac{2x +\frac{d}{dx} (y^2)}{2 \sqrt{x^2+y^2}}$

$=\frac{k (2 x+0)}{2 \sqrt{x^2+y^2}}$

$=\frac{k x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Espero que tenha entendido.
Abraço