Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

por **EulaCarrara** » Ter Mar 15, 2011 16:50

Boa tarde!

Função dada: $f(x,y)=\sqrt[2]{45-3{x}^{2}-5{y}^{2}}$

Considerando Z=k (constante), me deparei com a seguinte equação:

Para k=0, $3{x}^{2}+5{x}^{2}=45$
Para k=1, $3{x}^{2}+5{x}^{2}=44$
...

Eis a dúvida.. as equações acima (das curvas de nível) são de uma circunferência ou de uma elipse (dividindo a equação por 45)?
E como x² e y² estão acompanhados de um número multiplicador, como chegar às curvas de nível?

por **LuizAquino** » Ter Mar 15, 2011 17:44

Temos a função $f(x,y)=\sqrt{45-3{x}^{2}-5{y}^{2}}$ . Fazendo z=k, ou seja, f(x, y)=k, obtemos:

3x^2 + 5y^2 = 45-k^2

Lembrando que eu só pude fazer a simplificação $\left(\sqrt{45-3{x}^{2}-5{y}^{2}}\right)^2=45-3{x}^{2}-5{y}^{2}$ , pois temos que $45-3{x}^{2}-5{y}^{2} \geq 0$ para que o contradomínio da função seja o conjunto dos números reais, e não o dos números complexos. Em outras palavras, eu estou assumindo que não pode aparecer um número negativo dentro da raiz.

Agora, dividindo tudo por 45-k^2

e arrumando a equação:

$\frac{x^2}{\frac{45-k^2}{3}} + \frac{y^2}{\frac{45-k^2}{5}} = 1$

Note que isso é uma elipse.

Recomendo que dê uma olhada no tópico:
[Dúvida]Gráficos de funções com duas variáveis.
viewtopic.php?f=120&t=4069

por **EulaCarrara** » Qua Mar 16, 2011 20:54

LuizAquino.. Obrigada!
Até aí entendi...

Mas no caso de se atribuir valores que está me confundindo..

Por exemplo, para k=0:
$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$

Como seria esse desenho da elipse no esboço das curvas de nível?

por **LuizAquino** » Qua Mar 16, 2011 23:14

Há um vasto material na internet ensinando como esboçar o gráfico de uma elipse.

Com uma rápida pesquisa pelo Google, por exemplo, podemos achar a página:
Gráficos de Equações
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/precalculo1/sala/conteudo/capitulos/cap31s4.html

por **EulaCarrara** » Qui Mar 17, 2011 09:42

Sim... Eu dei uma olhada em vários sites... Só que todos os exemplos que eu encontrei, no denominador sempre tinha números quadrados perfeitos... No caso desse exercício que estou fazendo, "15" não tem raiz exata, por isso achei que teria algo diferente no esboço da curva..

De qualquer forma, obrigada!!