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[Dúvida]Gráficos de funções com duas variáveis.

[Dúvida]Gráficos de funções com duas variáveis.

Mensagempor Santa Lucci » Dom Mar 13, 2011 16:58

Boa tarde, pessoal, tudo bom?

Estou estudando agora funções de duas variáveis, e vimos curvas de nível na última aula. O problema é que, para algumas funções, é meio difícil (para mim) enxergar o comportamento...
Por exemplo, a função f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. Ao fazer as curvas de nível (o método que o Guidorizzi apresenta), teremos várias circunferências; a função, porém, assemelha-se mais a um plano com um bico do que a um paraboloide. Esse é um exemplo simplório, claro, mas me pergunto sobre como irei detectar esse tipo de comportamento?
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Re: [Dúvida]Gráficos de funções com duas variáveis.

Mensagempor LuizAquino » Dom Mar 13, 2011 18:13

Santa Lucci escreveu:Por exemplo, a função f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. Ao fazer as curvas de nível (o método que o Guidorizzi apresenta), teremos várias circunferências; a função, porém, assemelha-se mais a um plano com um bico do que a um paraboloide. Esse é um exemplo simplório, claro, mas me pergunto sobre como irei detectar esse tipo de comportamento?

Não há nada de "plano com um bico" no gráfico dessa função. Vejamos o seu gráfico para x e y no intervalo [-4, 4]:
grafico-funcao.png
grafico-funcao.png (13.72 KiB) Exibido 2031 vezes


Como você disse, fazendo cortes paralelos ao eixo xOy (isto é, fixando z=r, com r não nulo e positivo nesse caso) teremos circunferências, já que de f(x, y) = r obtemos a equação x^2+y^2=r^2.

Se x=0 (isso significa a interseção do gráfico com o plano yOz), então temos o gráfico da função modular z=|y|. O mesmo acontece para y=0 (interseção do gráfico com o plano xOz), quando teremos z=|x| . Ambos os gráficos tem o formato da letra "V", com o vértice fixado na origem.

Por outro lado, fazendo cortes paralelos ao plano yOz (o que significa fixarmos x=r, com r não nulo) temos f(r, y) = z, de onde obtemos hipérboles \frac{z^2}{r^2} - \frac{y^2}{r^2} = 1 (apenas a parte positiva da mesma).

De modo semelhante, fazendo cortes paralelos ao plano xOz (o que significa fixarmos y=r, com r não nulo) temos f(x, r) = z, de onde obtemos hipérboles \frac{z^2}{r^2} - \frac{x^2}{r^2} = 1 (apenas a parte positiva da mesma).

Veja que não tem jeito: você vai precisar dos conteúdos de Geometria Analítica. Por isso, recomendo que faça uma revisão sobre o assunto.
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Re: [Dúvida]Gráficos de funções com duas variáveis.

Mensagempor Santa Lucci » Dom Mar 13, 2011 21:55

Já tinha conseguido resolvê-lo desse mesmo modo. É que não tinha passado pela minha cabeça de fazer cortes em todos os jeitos (no Guidorizzi também não há nenhum exemplo que o faça), já que, até então, todos os exercícios de construção de gráficos em três dimensões poderiam ser feitos fazendo apenas curvas de nível no eixo z. "Plano com bico" foi o único jeito que consegui expressar, perdão se não foi o modo correto de fazê-lo. Obrigado pela atenção e um ótimo início de semana. :)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}