[Dúvida]Gráficos de funções com duas variáveis.

por **Santa Lucci** » Dom Mar 13, 2011 16:58

Boa tarde, pessoal, tudo bom?

Estou estudando agora funções de duas variáveis, e vimos curvas de nível na última aula. O problema é que, para algumas funções, é meio difícil (para mim) enxergar o comportamento...
Por exemplo, a função $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ . Ao fazer as curvas de nível (o método que o Guidorizzi apresenta), teremos várias circunferências; a função, porém, assemelha-se mais a um plano com um bico do que a um paraboloide. Esse é um exemplo simplório, claro, mas me pergunto sobre como irei detectar esse tipo de comportamento?

por **LuizAquino** » Dom Mar 13, 2011 18:13

Santa Lucci escreveu:Por exemplo, a função $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ . Ao fazer as curvas de nível (o método que o Guidorizzi apresenta), teremos várias circunferências; a função, porém, assemelha-se mais a um plano com um bico do que a um paraboloide. Esse é um exemplo simplório, claro, mas me pergunto sobre como irei detectar esse tipo de comportamento?

Não há nada de "plano com um bico" no gráfico dessa função. Vejamos o seu gráfico para x e y no intervalo [-4, 4]:

: grafico-funcao.png (13.72 KiB) Exibido 2041 vezes

Como você disse, fazendo cortes paralelos ao eixo xOy (isto é, fixando z=r, com r não nulo e positivo nesse caso) teremos circunferências, já que de f(x, y) = r obtemos a equação x^2+y^2=r^2

.

Se x=0 (isso significa a interseção do gráfico com o plano yOz), então temos o gráfico da função modular z=|y|. O mesmo acontece para y=0 (interseção do gráfico com o plano xOz), quando teremos z=|x| . Ambos os gráficos tem o formato da letra "V", com o vértice fixado na origem.

Por outro lado, fazendo cortes paralelos ao plano yOz (o que significa fixarmos x=r, com r não nulo) temos f(r, y) = z, de onde obtemos hipérboles $\frac{z^2}{r^2} - \frac{y^2}{r^2} = 1$ (apenas a parte positiva da mesma).

De modo semelhante, fazendo cortes paralelos ao plano xOz (o que significa fixarmos y=r, com r não nulo) temos f(x, r) = z, de onde obtemos hipérboles $\frac{z^2}{r^2} - \frac{x^2}{r^2} = 1$ (apenas a parte positiva da mesma).

Veja que não tem jeito: você vai precisar dos conteúdos de Geometria Analítica. Por isso, recomendo que faça uma revisão sobre o assunto.

por **Santa Lucci** » Dom Mar 13, 2011 21:55

Já tinha conseguido resolvê-lo desse mesmo modo. É que não tinha passado pela minha cabeça de fazer cortes em todos os jeitos (no Guidorizzi também não há nenhum exemplo que o faça), já que, até então, todos os exercícios de construção de gráficos em três dimensões poderiam ser feitos fazendo apenas curvas de nível no eixo z. "Plano com bico" foi o único jeito que consegui expressar, perdão se não foi o modo correto de fazê-lo. Obrigado pela atenção e um ótimo início de semana.