Questão de Física

por **Kelvin Brayan** » Dom Mar 06, 2011 19:51

Olá pessoal, há uma questão de física sobre a qual eu tenho uma certa dúvida. Trata-se de um exercício quantitativo, ou seja, envolve cálculos matemáticos.
Não estou conseguindo resolver tal questão. No entanto, eu sei pela teoria que cargas elétricas puntiformes de mesmo sinal repelem-se.
Veja:

03.(UFPE) Quatro cargas elétricas puntiformes, de intensidades Q e q, estão fixas nos vértices de um quadrado, sabendo que as cargas Q estão nos vértices 1 e 3 e as cargas q nos vértices 2 e 4. Determine a razão Q/q para que a força sobre cada uma das cargas Q seja nula.
Fórmula:
$F = \frac{KxQ1xQ2}{{d}^{2}}$

A resposta final é $-2\sqrt[2]{2}$

por **Neperiano** » Sex Out 28, 2011 15:11

Ola

O que você tentou fazer?

Trata-se de uma questão de eletrecidade

Nos mostre que poderemos ajudar

Atenciosamente

por **Igor Mirandola** » Sex Out 28, 2011 22:57

03.(UFPE) Quatro cargas elétricas puntiformes, de intensidades Q e q, estão fixas nos vértices de um quadrado, sabendo que as cargas Q estão nos vértices 1 e 3 e as cargas q nos vértices 2 e 4. Determine a razão Q/q para que a força sobre cada uma das cargas Q seja nula.
Fórmula:
F = K q Q / d²

Se Q e q tiverem mesmo sinal, todas as cargas vão se repelir uma das outras, e portanto, a força nunca será nula. Provavelmente Q e q vão ter sinais contrários. É a única forma de haver um equilíbrio de forças. Já podemos afirmar, portanto e sem medo, que Q/q é sempre negativo.
Antes de tudo quero dar nume as cargas, será A, B, C e D, onde a carga A está no vértice 1, a carga B está no vertice 2, a carga C está no vértice 3 e a carga D está no vértice 4.
Vamos pensar somente na carga A. Vamos colocar o quadrado num plano cartesiano tal que A esteja na origem do meu plano. Podemos escrever as coordenadas das minhas cargas como sendo:
A = (0,0)
B = (d,0)
C = (d,d)
D = (0,d)
Com isso via GA é muito facil determinar qual é a distancia entre as cargas, bastando encontrar o modulo dos vetores convenientes. Note que o vetor AC tem módulo, por definição, |AC| = $\sqrt[2]{{d}^{2}+{d}^{2}} = \sqrt[2]{2}.d$ . Pode ser dele que vem a raiz quadrada da resposta.
Mas o grande problema não é esse.
É estudar as forças que atuam em uma carga qualquer.
Vamos estudar a carga A e ver se só estudando ela conseguimos chegar em Q/q. Ela recebe influencia de tres forças neste sistema: a força elétrica das cargas B,C e D.
B e D é facil determinar porque B está no eixo x e D está no eixo y, basta aplicar a formula.
O problema é a força C, que está na diagonal neste referencial! Resolver problemas de vetores na diagonal é relativamente simples: decomponha o vetor nos eixos, utilizando ferramentas de GA, mais precisamente, projeção ortogonal, e realize as analises tanto para o eixo x quanto para o eixo y.
Será mais ou menos assim:
Vamos supor que q > 0 e Q < 0, assim, entre as cargas A e D há atração,A e B há atração, e A e C há repulsão. Observe que se q <0 e Q>0, também teriamos a mesma situação. Dessa forma, para haver equilibrio a somatória de todas as forças deve ser zero. São três forças que podemos decompor nos eixos x e y, e assim, para haver equilivrio, a somatória de todas as forças em cada eixo deve ser zero.

Antes de mais nada vamos dar nomes as variaveis força. Força que B exerce em A, vamos chamar de Fb. A força que C exerce em A vamos chamar de Fc, e a força que D exerce em A, vamos chamar de Fd.

Agora, vamos pensar no eixo x, e ver se apartir dele chegamos na tão esperada razão Q/q:
Por hipótese, há equilibrio, e portanto, força da carga B + Força da carga C decomposta no eixo x = 0
Analisando o sinal das forças, a força B está no sentido positivo de x, por causa da atração. A força C em x está no sentido negativo de x. Podemos então escrever que
|Fb| - |Fc x| = 0 e portanto, |Fb| = |Fc em x|
Para de decompor a força Fc no eixo x, basta conhecer o angulo da diagonal, sabemos que vale pi/4
Fc x = Fc sen(pi/4)
Fc x = Fc $\frac{\sqrt[2]{2}}{2}$

Assim, aplicando a formula no eixo x, temos que,
|Fb| = |Fc em x|

$\frac{kQq}{d²} = \frac{kQ²}{{\left(d \sqrt[2]{2} \right)}^{2}} \frac{\sqrt[2]{2}}{2} \Rightarrow \frac{kQq}{d²} = \frac{kQ²}{2{d}^{2}} \frac{\sqrt[2]{2}}{2} \Rightarrow \frac{q}{1} = \frac{Q}{2} \frac{\sqrt[2]{2}}{2} \Rightarrow \frac{Q}{q} = \frac{4}{\sqrt[2]{2}} \Rightarrow \frac{Q}{q} = \frac{4}{\sqrt[2]{2}} \frac{\sqrt[2]{2}}{\sqrt[2]{2}} \Rightarrow 2\sqrt[2]{2}$

Obersve que encontramos Q/q em módulo. Falta fazer a análise do sinal, aliás, ja foi feito, para que hava equilíbrio q>0 e Q<0... ou q<0 e Q>0, é por isso que Q/q < 0 sempre!

A resposta fica - 2 raiz 2

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