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Volume de sólido

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Mensagempor Manoella » Seg Fev 21, 2011 23:41

Como faço para encontrar o volume de revolução da região R em torno do eixo indicado:

R= {(x,y) \epsilonIR tal que 0 \leq x \leq\pi y \leq cox \frac{x}{2}}: o eixo é 0y
Aguardo ajuda.
Manoella
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Re: Volume de sólido

Mensagempor LuizAquino » Ter Fev 22, 2011 11:38

Manoella escreveu:Como faço para encontrar o volume de revolução da região R em torno do eixo indicado:

R= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq\pi,\,y \leq \cos \frac{x}{2}\}: o eixo é 0y


A situação está ilustrada na figura abaixo.
volume.png
volume.png (6.72 KiB) Exibido 2036 vezes


Girando a região R ao redor do eixo y, o volume V gerado possui cada seção transversal dada por um círculo de raio x. Sabemos que se y = \cos \frac{x}{2}, então x = 2\cos^{-1} y (onde \cos^{-1} representa a função inversa do cosseno, isto é, o arco-cosseno). Portanto, a área de cada seção transversal será dada por A(y)=4(\cos^{-1}y)^2\pi.

Dessa maneira, o volume do sólido será dado por:
V = \int_0^1 A(y)\,dy = 4\pi\int_0^1 (\cos^{-1}y)^2\,dy

O maior trabalho será resolver essa integral. Você pode começar fazendo por partes:
u = \cos^{-1} y \; \Rightarrow \; du = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,dy

dv = \cos^{-1} y \, dy\; \Rightarrow \; v =  y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}\,dy

V = 4\pi \int (\cos^{-1} y)^2 \,dy = 4\pi(\cos^{-1} y)(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}) - 4\pi\int  \left(-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\right)(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2})\, dy

Arrumando a segunda integral (que eu vou chamar de I), nós temos:
I = \int  \left(-\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right) + 1 \, dy = - \int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy + \int 1 \, dy = y - \int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy

Para resolver a outra integral que compõe I, devemos usar substituição:
w = \cos^{-1}y \, \Rightarrow \, dw = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy

Lembre que se w = \cos^{-1}y, então \cos w = y.

Desse modo, temos:
\int  \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy = - \int w\cos w\, dw = -(w\sin w + \cos w) = -\cos^{-1}y\sin (\cos^{-1}y) - \cos (\cos^{-1}y) = -\cos^{-1}y\sqrt{1-y^2} - y

Observação: Faça a integral \int w\cos w\, dw por partes. Além disso, lembre-se que \sin (\cos^{-1}y) = \sqrt{1- [\cos(\cos^{-1} y)]^2} = \sqrt{1- y^2}.

Sendo assim, voltando a I, nós temos:
I = \int  \left(-\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right) + 1 \, dy = 2y + \cos^{-1}y\sqrt{1-y^2}

Substituindo I em V, nós obtemos:
V = 4\pi\int_0^1 (\cos^{-1} y)^2 \,dy = 4\pi\left[(\cos^{-1} y)\left(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}\right) - 2y - \cos^{-1}y\sqrt{1-y^2}\right]_0^1 = 4\pi(\pi - 2).

Agora cabe a você destrinchar as contas!
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: