Volume de sólido

por **Manoella** » Seg Fev 21, 2011 23:41

Como faço para encontrar o volume de revolução da região R em torno do eixo indicado:

R= {(x,y) $\epsilon$ IR tal que 0 $\leq$ x $\leq$ $\pi$ y $\leq$ cox $\frac{x}{2}$ }: o eixo é 0y
Aguardo ajuda.

por **LuizAquino** » Ter Fev 22, 2011 11:38

Manoella escreveu:Como faço para encontrar o volume de revolução da região R em torno do eixo indicado:

$R= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq\pi,\,y \leq \cos \frac{x}{2}\}$ : o eixo é 0y

A situação está ilustrada na figura abaixo.

: volume.png (6.72 KiB) Exibido 2043 vezes

Girando a região R ao redor do eixo y, o volume V gerado possui cada seção transversal dada por um círculo de raio x. Sabemos que se $y = \cos \frac{x}{2}$ , então $x = 2\cos^{-1} y$ (onde $\cos^{-1}$ representa a função inversa do cosseno, isto é, o arco-cosseno). Portanto, a área de cada seção transversal será dada por $A(y)=4(\cos^{-1}y)^2\pi$ .

Dessa maneira, o volume do sólido será dado por:
$V = \int_0^1 A(y)\,dy = 4\pi\int_0^1 (\cos^{-1}y)^2\,dy$

O maior trabalho será resolver essa integral. Você pode começar fazendo por partes:
$u = \cos^{-1} y \; \Rightarrow \; du = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\,dy$

$dv = \cos^{-1} y \, dy\; \Rightarrow \; v = y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}\,dy$

$V = 4\pi \int (\cos^{-1} y)^2 \,dy = 4\pi(\cos^{-1} y)(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2})$ $- 4\pi\int \left(-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\right)(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2})\, dy$

Arrumando a segunda integral (que eu vou chamar de I), nós temos:
$I = \int \left(-\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right) + 1 \, dy = - \int \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy + \int 1 \, dy =$ $y - \int \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy$

Para resolver a outra integral que compõe I, devemos usar substituição:
$w = \cos^{-1}y \, \Rightarrow \, dw = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy$

Lembre que se $w = \cos^{-1}y$ , então $\cos w = y$ .

Desse modo, temos:
$\int \left(\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy = - \int w\cos w\, dw = -(w\sin w + \cos w) =$ $-\cos^{-1}y\sin (\cos^{-1}y) - \cos (\cos^{-1}y) = -\cos^{-1}y\sqrt{1-y^2} - y$

Observação: Faça a integral $\int w\cos w\, dw$ por partes. Além disso, lembre-se que $\sin (\cos^{-1}y) = \sqrt{1- [\cos(\cos^{-1} y)]^2} = \sqrt{1- y^2}$ .

Sendo assim, voltando a I, nós temos:
$I = \int \left(-\frac{y\cos^{-1}y}{\sqrt{1-y^2}}\right) + 1 \, dy = 2y + \cos^{-1}y\sqrt{1-y^2}$

Substituindo I em V, nós obtemos:
$V = 4\pi\int_0^1 (\cos^{-1} y)^2 \,dy = 4\pi\left[(\cos^{-1} y)\left(y\cos^{-1}y - \sqrt{1-y^2}\right) - 2y - \cos^{-1}y\sqrt{1-y^2}\right]_0^1$ $= 4\pi(\pi - 2)$ .

Agora cabe a você destrinchar as contas!

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