Limite

por **OtavioBonassi** » Dom Jan 09, 2011 23:40

"Se f: |R \rightarrow |R é uma função que satisfaz f(0)=0 e $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x^2} = 5$ , então f ' (0) vale :

a)0
b)1
c)5
d)10
e)25

"

Tentei já fazer o óbvio mas só consegui descobrir que f '' (0) = 10 haha , ja tentei também separar tipo limite de $\frac {f(x)}{x}$ vezes 1/x , mas limite de 1/x pra x tendendo a 0 nao existe né ,os limites laterais dão - infinito e + infinito ... então fiquei sem saber o que fazer ,por isso postei.

por **Neperiano** » Qui Out 27, 2011 15:08

Ola

Não dá para ver a função, pode arrumar ela ou postar denovo

Atenciosamente

por **LuizAquino** » Qui Out 27, 2011 17:15

Por definição de derivadas, sabemos que:

$f^\prime(0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Já que f(0)=0, temos que:

$f^\prime(0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$

Multiplicando tanto o numerador quanto o denominador por x:

$f^\prime(0) = \lim_{x\to 0}\frac{xf(x)}{x^2}$

Mas isso é o mesmo que:

$f^\prime(0) = \left(\lim_{x\to 0}x\right)\cdot \left(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}\right)$

Já que $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2} = 5$ , temos que:

$f^\prime(0) = 0 \cdot 5 = 0$

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