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Calculo de volume atravé de integral dupla

Calculo de volume atravé de integral dupla

Mensagempor maiquel » Qua Out 13, 2010 12:34

Esta conta é para o calculo de volume de um cilindro , onde o 0,5 é o raio . Este cilindro tem 1,4 m de altura e volume de
1000 litros
. Tenho um tanque cilindrico com 1,4m de altura e raio de 0,5m. Enchendo até a boca tenho \approx 1 m³[/tex ( 1000 litros). Porém quando está 1 cm desnivelado não consigo enche toda a capacidade, pois de um lado vai vazar. Qual o volume que um não consigo encher?

v=\int_{-0,5}^{0,5}  \int_{-\sqrt[]{0,5²x²}}^{\sqrt[]{0,5²x²}} -y +0,5 dy dx

( dentro da segunda integral é 0,5²+x² e mesma coisa enbaixo)
Preciso saber o volume quando está um 1cm desnivelado.Assim a altura é de 1 cm de um lado e zero do outro. O raio é de 0,5m e a altura total do cilindro é 1,4m. Olhando de frente enchergamos um triangulo retangulo de um pequeno angulo com o cateto oposto de 1 cm, porém é um cilindro
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Re: Calculo de volume atravé de integral dupla

Mensagempor armando » Sex Jan 06, 2017 04:14

Boa noite maiquel.

Não lhe vou resolver a integral porque sinceramente não sei como a resolver. Mas, segundo uma calculadora TI-Nspire CX CAS, o resultado é como se segue:
Int. dupla de volume.jpg
Int. dupla de volume.jpg (15.79 KiB) Exibido 4740 vezes


No WolframAlpha, se você digitar como mostra a imagem vai obter exactamente o mesmo valor.
Integral dupla- WolframAlpha.jpg


Veja que, quando se inclina o cilindro de modo a provocar um desnivelamento de 1cm sobre qualquer ponto do rebordo do fundo do mesmo em relação ao plano, se vai gerar um "tronco de cilindro reto". Como o conteúdo do cilindro é liquido se o mesmo estiver cheio irá transbordar, e o volume desse transbordo, será exatamente o volume do "tronco de cilindro reto", que nesse caso tem as dimensões de 1cm de inclinação em relação ao ponto de apoio no plano e 0,5 m de raio. Repare que o "Volume 3"= Volume 2 que por sua vez é igual ao Volume 1 que foi o volume de água transbordada.
Cilindros e tronco de cilindro.jpg

Veja o vídeo abaixo que foi de onde tirei as figuras para ilustrar mais especificamente o seu caso.
https://www.youtube.com/watch?v=q5catnb4QMw

Considerando a fórmula do "Tronco de cilindro reto" dada na imagem acima, neste caso em concreto temos que:

V=3,14\times(0,5m)^2\times\(\frac{(0,01m+0m)}{2}= 3,925E^{-3}=0,003925\, m^3

Como 1\,dm^3  = 1 lt. reduzimos os metros cúbicos a litros, e deste modo ficamos com 3,925\, lt.
esta foi a quantidade de água que transbordou ao se inclinar o cilindro em 1cm.

Dado que o volume do cilindro é dado por:
V_{c}= \pi.r^2.h temos:

V_{c}= 3,14\times(0,5m)^2\times1,4m=1,099\,m^3=1099\,dm^3=1099\,lt.

Portanto quando o cilindro está 1 cm desnivelado o volume será de:
Volume total - transbordo

1099lt.-3,925lt.=1095,075 lt.

Creio que seja esse o valor.
Agora qual o valor da integral na resolução do problema, francamente não sei.
Se você ou algum outro usuário souberem e chegarem na resolução por favor postem ela aqui.
armando
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)