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Integrais com raiz quadrada

Integrais com raiz quadrada

Mensagempor SOPMod » Ter Jun 15, 2010 01:11

Olá! Este é meu primeiro post nesse fórum.

Bem, meus problemas com integrais, em parte, vêm das belezuras com raiz quadrada. Eu simplesmente não consigo integrar uma expressão com raiz quadrada (exceto quando há um termo que multiplica ela, daí faço substituição). Já vi recomendarem o uso de tabelas de integrais, mas como eu decoro tudo aquilo? E pior, recomendaram usar as trigonométricas, mas como eu escolho a função de acordo com o exercício?

Bem, mando 2 exercícios exemplo:
\int_{}^{}\sqrt[2]{3-{4x}^{2}}

o outro:
\int_{}^{}\sqrt[2]{9-(\left{x-1}\right)^{2}}

eu tentei resolver usando substituição e integração por partes, mas não dá certo. Olhei no wolframalpha o resultado e como ele chegou lá, mas não entendi o critério usado para substituir os valores de x.
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Re: Integrais com raiz quadrada

Mensagempor MarceloFantini » Ter Jun 15, 2010 20:00

Eu aprendi assim:

\sqrt {a^2 - x^2} \Rightarrow sen \theta
\sqrt {a^2 + x^2} \Rightarrow tg \theta
\sqrt {x^2 - a^2} \Rightarrow sec \theta
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: Integrais com raiz quadrada

Mensagempor MatheusAgostin » Dom Jun 20, 2010 18:58

\int_{}^{}\sqrt[]{3 - 4x^2)}dx

Primeiramente, devemos deixar x² com coeficiente 1 para aplicarmos a substituição trigonométrica. Vamos fatorar por 4:

\int_{}^{}\sqrt[]{4(\frac{3}{4} - x^2)}dx

Ou seja,

2\int_{}^{}\sqrt[]{(\frac{3}{4} - x^2)}dx

Agora vamos aplicar a substituição trigonométrica.
\emph{a}^2 = \frac{3}{4}

\emph{a} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

x = asen\theta

x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}sen\theta

dx = \frac{\sqrt[]{3}}{2}cos\theta d\theta

Substituindo na integral,

2\int_{}^{}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\sqrt[]{(1 - sen^2\theta)}.\frac{\sqrt[]{3}}{2}cos\theta d\theta

\frac{3}{2}\int_{}^{}cos^2\theta d\theta

Mas cos^2\theta = \frac{1 + cos2\theta}{2}

\Rightarrow \frac{3}{2}\int_{}^{}\frac{1 + cos2\theta}{2}d\theta

= \frac{3}{4}\int_{}^{}d\theta + \frac{3}{4}\int_{}^{}cos2\thetad\theta
\frac{3}{4}\theta + \frac{3}{8}sen2\theta + C
Agora devemos voltar em x. Como x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}sen\theta,

\theta = arcsen\frac{2x}{\sqrt[]{3}} = arcsen \frac{2\sqrt[]{3}x}{3}

sen2\theta = 2sen\theta cos\theta

sen^2\theta + cos^2\theta  = 1

cos\theta = \sqrt[]{1 - sen^2\theta}

Como sen\theta = \frac{2\sqrt[]{3}x}{3}

Então, sen2\theta = \frac{4}{3}x \sqrt[]{3 - 4x^2}

Resposta, \int_{}^{}\sqrt[]{3 - 4x^2)}dx =  \frac{3}{4}arcsen \frac{2\sqrt[]{3}x}{3} +  \frac{1}{2}x \sqrt[]{3 - 4x^2} + C
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.