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Integrais com raiz quadrada

Integrais com raiz quadrada

Mensagempor SOPMod » Ter Jun 15, 2010 01:11

Olá! Este é meu primeiro post nesse fórum.

Bem, meus problemas com integrais, em parte, vêm das belezuras com raiz quadrada. Eu simplesmente não consigo integrar uma expressão com raiz quadrada (exceto quando há um termo que multiplica ela, daí faço substituição). Já vi recomendarem o uso de tabelas de integrais, mas como eu decoro tudo aquilo? E pior, recomendaram usar as trigonométricas, mas como eu escolho a função de acordo com o exercício?

Bem, mando 2 exercícios exemplo:
\int_{}^{}\sqrt[2]{3-{4x}^{2}}

o outro:
\int_{}^{}\sqrt[2]{9-(\left{x-1}\right)^{2}}

eu tentei resolver usando substituição e integração por partes, mas não dá certo. Olhei no wolframalpha o resultado e como ele chegou lá, mas não entendi o critério usado para substituir os valores de x.
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Re: Integrais com raiz quadrada

Mensagempor MarceloFantini » Ter Jun 15, 2010 20:00

Eu aprendi assim:

\sqrt {a^2 - x^2} \Rightarrow sen \theta
\sqrt {a^2 + x^2} \Rightarrow tg \theta
\sqrt {x^2 - a^2} \Rightarrow sec \theta
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: Integrais com raiz quadrada

Mensagempor MatheusAgostin » Dom Jun 20, 2010 18:58

\int_{}^{}\sqrt[]{3 - 4x^2)}dx

Primeiramente, devemos deixar x² com coeficiente 1 para aplicarmos a substituição trigonométrica. Vamos fatorar por 4:

\int_{}^{}\sqrt[]{4(\frac{3}{4} - x^2)}dx

Ou seja,

2\int_{}^{}\sqrt[]{(\frac{3}{4} - x^2)}dx

Agora vamos aplicar a substituição trigonométrica.
\emph{a}^2 = \frac{3}{4}

\emph{a} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

x = asen\theta

x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}sen\theta

dx = \frac{\sqrt[]{3}}{2}cos\theta d\theta

Substituindo na integral,

2\int_{}^{}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\sqrt[]{(1 - sen^2\theta)}.\frac{\sqrt[]{3}}{2}cos\theta d\theta

\frac{3}{2}\int_{}^{}cos^2\theta d\theta

Mas cos^2\theta = \frac{1 + cos2\theta}{2}

\Rightarrow \frac{3}{2}\int_{}^{}\frac{1 + cos2\theta}{2}d\theta

= \frac{3}{4}\int_{}^{}d\theta + \frac{3}{4}\int_{}^{}cos2\thetad\theta
\frac{3}{4}\theta + \frac{3}{8}sen2\theta + C
Agora devemos voltar em x. Como x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}sen\theta,

\theta = arcsen\frac{2x}{\sqrt[]{3}} = arcsen \frac{2\sqrt[]{3}x}{3}

sen2\theta = 2sen\theta cos\theta

sen^2\theta + cos^2\theta  = 1

cos\theta = \sqrt[]{1 - sen^2\theta}

Como sen\theta = \frac{2\sqrt[]{3}x}{3}

Então, sen2\theta = \frac{4}{3}x \sqrt[]{3 - 4x^2}

Resposta, \int_{}^{}\sqrt[]{3 - 4x^2)}dx =  \frac{3}{4}arcsen \frac{2\sqrt[]{3}x}{3} +  \frac{1}{2}x \sqrt[]{3 - 4x^2} + C
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}


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