• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Integrais com raiz quadrada

Integrais com raiz quadrada

Mensagempor SOPMod » Ter Jun 15, 2010 01:11

Olá! Este é meu primeiro post nesse fórum.

Bem, meus problemas com integrais, em parte, vêm das belezuras com raiz quadrada. Eu simplesmente não consigo integrar uma expressão com raiz quadrada (exceto quando há um termo que multiplica ela, daí faço substituição). Já vi recomendarem o uso de tabelas de integrais, mas como eu decoro tudo aquilo? E pior, recomendaram usar as trigonométricas, mas como eu escolho a função de acordo com o exercício?

Bem, mando 2 exercícios exemplo:
\int_{}^{}\sqrt[2]{3-{4x}^{2}}

o outro:
\int_{}^{}\sqrt[2]{9-(\left{x-1}\right)^{2}}

eu tentei resolver usando substituição e integração por partes, mas não dá certo. Olhei no wolframalpha o resultado e como ele chegou lá, mas não entendi o critério usado para substituir os valores de x.
SOPMod
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 1
Registrado em: Ter Jun 15, 2010 00:45
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Bacharelado em Ciência da Computação
Andamento: cursando

Re: Integrais com raiz quadrada

Mensagempor MarceloFantini » Ter Jun 15, 2010 20:00

Eu aprendi assim:

\sqrt {a^2 - x^2} \Rightarrow sen \theta
\sqrt {a^2 + x^2} \Rightarrow tg \theta
\sqrt {x^2 - a^2} \Rightarrow sec \theta
Futuro MATEMÁTICO
e^{\pi \cdot i} +1 = 0
MarceloFantini
Colaborador Moderador
Colaborador Moderador
 
Mensagens: 3126
Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Bacharelado em matemática pura
Andamento: cursando

Re: Integrais com raiz quadrada

Mensagempor MatheusAgostin » Dom Jun 20, 2010 18:58

\int_{}^{}\sqrt[]{3 - 4x^2)}dx

Primeiramente, devemos deixar x² com coeficiente 1 para aplicarmos a substituição trigonométrica. Vamos fatorar por 4:

\int_{}^{}\sqrt[]{4(\frac{3}{4} - x^2)}dx

Ou seja,

2\int_{}^{}\sqrt[]{(\frac{3}{4} - x^2)}dx

Agora vamos aplicar a substituição trigonométrica.
\emph{a}^2 = \frac{3}{4}

\emph{a} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

x = asen\theta

x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}sen\theta

dx = \frac{\sqrt[]{3}}{2}cos\theta d\theta

Substituindo na integral,

2\int_{}^{}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\sqrt[]{(1 - sen^2\theta)}.\frac{\sqrt[]{3}}{2}cos\theta d\theta

\frac{3}{2}\int_{}^{}cos^2\theta d\theta

Mas cos^2\theta = \frac{1 + cos2\theta}{2}

\Rightarrow \frac{3}{2}\int_{}^{}\frac{1 + cos2\theta}{2}d\theta

= \frac{3}{4}\int_{}^{}d\theta + \frac{3}{4}\int_{}^{}cos2\thetad\theta
\frac{3}{4}\theta + \frac{3}{8}sen2\theta + C
Agora devemos voltar em x. Como x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}sen\theta,

\theta = arcsen\frac{2x}{\sqrt[]{3}} = arcsen \frac{2\sqrt[]{3}x}{3}

sen2\theta = 2sen\theta cos\theta

sen^2\theta + cos^2\theta  = 1

cos\theta = \sqrt[]{1 - sen^2\theta}

Como sen\theta = \frac{2\sqrt[]{3}x}{3}

Então, sen2\theta = \frac{4}{3}x \sqrt[]{3 - 4x^2}

Resposta, \int_{}^{}\sqrt[]{3 - 4x^2)}dx =  \frac{3}{4}arcsen \frac{2\sqrt[]{3}x}{3} +  \frac{1}{2}x \sqrt[]{3 - 4x^2} + C
MatheusAgostin
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 1
Registrado em: Dom Jun 20, 2010 12:19
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: Engenharia Química
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 5 visitantes

 



Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.