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Cálculo vetorial. Curvas

Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Ter Abr 06, 2021 11:34

Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor adauto martins » Qui Abr 08, 2021 13:12

temos que

\left|\alpha(t) \right|^2=\alpha(t).\alpha(t)

d/dt(\left|\alpha(t) \right|^2)=0\Rightarrow

d/dt(\alpha(t).\alpha(t))=d/dt(\alpha(t).\alpha(t)+\alpha(t).d/dt(\alpha(t)=0
\Rightarrow 

2.\alpha(t).d/dt(\alpha(t))=0\Rightarrow \alpha(t).d/dt=0

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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Qui Abr 08, 2021 20:17

Não entendi pq vc igualou a zero logo no começo da soluçao.
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Qui Abr 08, 2021 20:19

Isso ocorre pq o produto escalar é um número?
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Qui Abr 08, 2021 23:33

Entendi agora. Como |a(to)| é mínimo, entao to é um ponto crítico, isso implica g'(t)=0, considerando g(t)= <a(t),a(t)>
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor LuizAquino » Sex Abr 09, 2021 13:28

guilherme5088 escreveu:Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).


Olá Guilherme, veja minha resolução neste vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=1XRFbaIvguQ

Eu espero que isso possa ajudar!
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor adauto martins » Sex Abr 09, 2021 17:07

pois é meu caro guilherme,
toda curva,cujo traço(caminho) é continua e diferencial em um dado dominio,tem-se o vetor posiçao ortogonal ao vetor tangente("velocidade"),isso é um teorema,bom de provar.pois é a norma de um vetor,é um escalar,logo a derivada de um escalar e zero.
assim como tambem teremos

\alpha'(t).\alpha''(t)=0
fica como exercicio.
bom o video do luiz aquino,elucida muito sobre parametrizaçao de curvas...
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor guilherme5088 » Sex Abr 09, 2021 21:05

LuizAquino escreveu:
guilherme5088 escreveu:Seja α(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se α(to) é o ponto do traço de α mais próximo da origem e α'(to) é diferente de 0. Mostre que o vetor posição α(t) é ortogonal a α'(to).


Olá Guilherme, veja minha resolução neste vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=1XRFbaIvguQ

Eu espero que isso possa ajudar!


Sou inscrito no seu canal, professor. Muito bom o vídeo.
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Re: Cálculo vetorial. Curvas

Mensagempor LuizAquino » Sex Abr 09, 2021 21:45

guilherme5088 escreveu:Sou inscrito no seu canal, professor. Muito bom o vídeo.


Legal! :)
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.