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(Derivadas)- Cálculo A

(Derivadas)- Cálculo A

Mensagempor Matheus1999 » Seg Jan 25, 2021 14:15

Olá, eu estou com um pouco de dúvida na resolução destas 2 derivadas, eu tentei resolve-las, mas acabo sempre por "travar".
O enunciado diz o seguinte: "Utilizando a regra das derivadas, determine o y'"
Em anexo, uma imagem contendo as derivadas.
OBS: Desculpem-me por qualquer erro, esse é o primeiro tópico que criei aqui no fórum.
Anexos
20210125_131310.png
Matheus1999
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Re: (Derivadas)- Cálculo A

Mensagempor DanielFerreira » Sex Abr 02, 2021 18:23

Olá Matheus1999, seja bem-vindo!

Matheus1999 escreveu:Utilizando a regra das derivadas, determine o y

(e) \ y = x \cdot \tanh^{- 1} \sqrt{x}


Para solucionar este item, precisamos saber que \boxed{\mathbf{\frac{d}{dx} \tanh^{- 1} x = \frac{1}{1 - x^2}, \ se - 1 < x < 1}}.

Seja \mathbf{z = \tanh^{- 1} \sqrt{x}}. Determinemos sua derivada considerando \mathsf{\sqrt{x} = \lambda}. Com efeito, implica que \mathsf{d\lambda = \frac{\sqrt{x}}{2x} dx}. Daí,

\\ \mathsf{z = \tanh^{- 1} \sqrt{x}} \\\\ \mathsf{z = \tanh^{- 1} \lambda} \\\\ \mathsf{dz = \frac{1}{1 - \lambda^2} d\lambda} \\\\ \mathsf{dz = \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2x} dx} \\\\ \boxed{\mathsf{\frac{d}{dx} \left ( \tanh^{- 1} \sqrt{x} \right ) = \frac{\sqrt{x}}{2x(1 - x)}}}

Por fim, aplicando a regra do produto:

\\ \mathsf{y = x \cdot \tanh^{- 1} \sqrt{x}} \\\\ \mathsf{dy = \left [ 1 \cdot \tanh^{- 1} \sqrt{x} + x \cdot \frac{\sqrt{x}}{2x(1 - x)}  \right ] dx} \\\\ \mathsf{\frac{dy}{dx} = \tanh^{- 1} \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2(1 - x)}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{d}{dx} \left ( x \cdot \tanh^{- 1} \sqrt{x} \right ) = \tanh^{- 1} \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2(1 - x)}}}}

\mathsf{\forall \, x \in \mathbb{R}; \, 0 \leq x < 1}.


Quanto ao outro item, podes passar o fator que está fora da raiz para dentro e aplicar a regra da cadeia!
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habilidade é saber como fazer;
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.