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Limite Logarítmico

Limite Logarítmico

Mensagempor MCordeiro » Qua Mai 20, 2020 16:48

Resolva sem utilizar L'hospital:

\lim_{x\rightarrow0}\frac{ln(1+3sen(x))}{sen(x)}

já tentei propriedades logarítmicas,multiplicar a fração por conjugados mas não chego a lugar nenhum.

Gab: 3
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Re: Limite Logarítmico

Mensagempor LuizAquino » Qua Mai 20, 2020 23:46

MCordeiro escreveu:Resolva sem utilizar L'hospital:

\lim_{x\rightarrow0}\frac{ln(1+3sen(x))}{sen(x)}

já tentei propriedades logarítmicas,multiplicar a fração por conjugados mas não chego a lugar nenhum.

Gab: 3


Olá MCordeiro , faça a substituição de variáveis:

u = 3\,\textrm{sen}\,(x)

Note que quando x\to 0, teremos u\to 0. Desse modo, o limite pode ser reescrito como:

\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1 + 3\,\textrm{sen}\,(x))}{\textrm{sen}\,(x)} = \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1 + u)}{\dfrac{u}{3}}

Efetuando a divisão e usando propriedades dos logaritmos, podemos dizer que:

\lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1 + u)}{\dfrac{u}{3}} = \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1 + u)}{1} \cdot \dfrac{3}{u}

= \lim_{u\to 0}\dfrac{3}{u}\ln(1 + u)

= \lim_{u\to 0}3\ln(1 + u)^\frac{1}{u}

= 3\ln \left[\lim_{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}\right]

Agora lembre do limite exponencial:

\lim_{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u} = e

Tente finalizar o exercício com essa informação. Comente aqui o que você conseguiu.

Obs.: se tiver dúvida sobre o limite exponencial, veja aos 6:54 da minha videoaula: https://www.youtube.com/watch?v=2GRCPZy3YdY&list=PLFAD938CE631F6449&index=10&t=0s .
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Re: Limite Logarítmico

Mensagempor MCordeiro » Qui Mai 21, 2020 17:34

Consegui terminar,obrigado.
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.