exercícios de cálculo 3

por **ezidia51** » Dom Nov 10, 2019 15:22

Por favor me ajudem com esta questão.Não consigo encontrar o erro:
O volume de uma região Q limitada acima pela esfera $\rho=\sigma$ e abaixo pelo cone $\varphi=c$ com 0<C< $\frac{\pi}{2}$
Fiz o cálculo como está no anexo mas ainda está dando erro.

por **adauto martins** » Dom Nov 10, 2019 17:09

primeiramente vamos delimitar as condiçoes do solido,que esta em coordenadas esfericas,e tal que

$0\preceq\rho\preceq a...0\preceq\phi\preceq(\pi/2)... 0\preceq\theta\preceq 2\pi$

${v}_{q}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a}{\rho}^{2}(sen\phi) d\rho d\phi d\theta$ = $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}(sen\phi)(({\rho}^{3}/3))[0,a])d\phi d\theta$

${v}_{q}=({a}^{3}/3)\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}(sen\phi)d\phi d\theta$

${v}_{q}=({a}^{3}/3)\int_{0}^{2\pi}((-cos\phi)[0,\pi/2])d\theta =({a}^{3}/3)\int_{0}^{2\pi}=(2\pi/3){a}^{3}$

que é o mesmo resultado que vc chegou...e como é um solido a resposta que vc diz ser certa nao pode ser
$r.{a}^{3}$ ,pois seria quatro dimensoes...verifique direita esse r,que nao é o raio da esfera,pois o raio é a...e ate onde posso te ajudar...

por **ezidia51** » Dom Nov 10, 2019 20:10

muito obrigado

por **adauto martins** » Dom Nov 10, 2019 21:07

correçao:
a coordenada $\varphi$ que delimita o cone varia de $0\prec\varphi\preceq \pi/4$
o problema nao faz mençao a nenhuma restriçao do cone...alias se vc tiver a questao,me mande...
entao a integral

$\int_{0}^{\pi/4}sen d\varphi=-cos\varphi[0,\pi/4] =-(cos(\pi/4)-cos0)=(1-\sqrt[]{2}/2)=(2-\sqrt[]{2})/2$

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