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[Limites] como essa divisão foi simplificada?

[Limites] como essa divisão foi simplificada?

Mensagempor GandalfOAzul » Sáb Set 14, 2019 01:21

Olá, amigos, após 1h batendo a cabeça mais um vez venho pedir ajuda

eu tenho esse limite (já resolvido):

\lim_{x \to a}\frac{(\sin x - \sin a)}{(x - a)} = \frac{2\cos \frac{x + a}{2} \sin \frac{x - a}{2}}{(x - a)} = \frac{\cos \frac{x + a}{2} \sin \frac{x - a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}}

Ele foi resolvido dessa forma:

\lim_{x \to a}\frac{(\sin x - \sin a)}{(x - a)} = \cos a \lim_{(x -a) \to 0}\frac{\sin \frac{x - a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}} = \cos a

Eu gostaria de saber o porquê disso \frac{\cos \frac{x + a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}} ser \cos a .

Será que eu estou confundindo alguma coisa? Eu tentei entender e realmente não consegui. Obrigado desde já.
GandalfOAzul
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Re: [Limites] como essa divisão foi simplificada?

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Set 14, 2019 14:56

Olá GandalfOAzul!

GandalfOAzul escreveu:Eu gostaria de saber o porquê disso \frac{\cos \frac{x + a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}} ser \cos a.


Lembre-se do Limite fundamental:

\boxed{\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: [Limites] como essa divisão foi simplificada?

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Set 14, 2019 14:57

Olá GandalfOAzul!

GandalfOAzul escreveu:Eu gostaria de saber o porquê disso \frac{\cos \frac{x + a}{2}}{\frac{(x - a)}{2}} ser \cos a.


Lembre-se do Limite fundamental:

\boxed{\mathsf{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}}
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habilidade é saber como fazer;
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Re: [Limites] como essa divisão foi simplificada?

Mensagempor GandalfOAzul » Sáb Set 14, 2019 20:43

Lembre-se do Limite fundamental


Eu não entendi bem o que o Sr. quis dizer.
Quando eu tentei resolver eu cheguei em um resultado assim: \frac{\frac{a}{2}}{-\frac{a}{2}} = -\frac{a\cdot \:2}{2a} = \cos \left(-1\right) =\cos \left(1\right)

Eu tô com um pouco de brain fog, talvez eu deva estudar mais, deixar esse problema de lado e resolver outros exercícios primeiro :$

De toda forma fica registrado meu muito obrigado.

Abraços :guy_hug:
GandalfOAzul
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Re: [Limites] como essa divisão foi simplificada?

Mensagempor DanielFerreira » Ter Set 17, 2019 11:21

GandalfOAzul, revendo minha resposta e sua dúvida, percebo certa distância... Desculpe-me!!

Tem outro caminho... Espero que seja mais fácil de compreender, caso contrário, comente!

Inicialmente, façamos uma mudança de variável. Considere \mathbf{x - a = k}. Assim,

\\ \displaystyle \mathsf{\lim_{x \to a} = \frac{\sin x - \sin a}{x - a} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{x - a \to 0} \frac{\sin (k + a) - \sin a}{(k + a) - a} = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin (k + a) - \sin a}{k + a - a} = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin k \cdot \cos a + \sin a \cdot \cos k - \sin a}{k} = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin k \cdot \cos a + \sin a \cdot \left ( \cos k - 1 \right )}{k} = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \left [ \frac{\sin k \cdot \cos a + \sin a \cdot \left ( \cos k - 1 \right )}{k}  \right ] = } \\\\\\ \mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin k \cdot \cos a}{k} + \lim_{k \to 0} \frac{\sin a \cdot \left ( \cos k - 1 \right )}{k} = } \\\\\\ \mathsf{\cos a \cdot \underbrace{\mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\sin k}{k}}}_{limite \ fundamental} + \sin a \cdot \underbrace{\mathsf{\lim_{k \to 0} \frac{\left ( \cos k - 1 \right )}{k}}}_{zero} = } \\\\ \mathsf{\cos a \cdot 1 + \sin a \cdot 0 =} \\\\ \boxed{\mathsf{\cos a}}
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Re: [Limites] como essa divisão foi simplificada?

Mensagempor GandalfOAzul » Qua Set 18, 2019 12:01

DanielFerreira escreveu:GandalfOAzul, revendo minha resposta e sua dúvida, percebo certa distância... Desculpe-me!!

Tem outro caminho... Espero que seja mais fácil de compreender, caso contrário, comente!


HAHAHA sem problemas. Compreendi melhor agora :-D

Muito obrigado :y:
GandalfOAzul
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.