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Integrais Parciais

Integrais Parciais

Mensagempor dark_slack » Sáb Dez 15, 2018 11:29

bom dia,
quero resolver esta integral de fração parcial que não consigo achar uma solução:

\int_{}^{}\frac{x^{2}-3x+5}{3x^{3}+x^{2}+x} dx

Quero a atenção de todos!
Obrigado.
dark_slack
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Re: Integrais Parciais

Mensagempor Gebe » Sáb Dez 15, 2018 22:25

\\
\frac{x^2-3x+5}{3x^3+x^2+x}\\
\\
\frac{x^2-3x+5}{x.(3x^2+x+1)}\\
\\
\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{3x^2+x+1}\\
\\
A(3x^2+x+1)+Bx^2+Cx=x^2-3x+5\\
\\
1.A=5\;\rightarrow\;A=5\\
\\
3.A+B=1\;\rightarrow\;B=1-15=-14\\
\\
1.A+1.C=-3\;\rightarrow\;C=-3-5=-8

A integral fica:
\int\;\left(\frac{5}{x}-\frac{14x+8}{3x^2+x+1}\right)dx

O termo \frac{5}{x} da integral é simples de resolver, vamos então nos concentrar no segundo termo:
\int\;-\frac{14x+8}{3x^2+x+1}dx\\
\\
-2\int\;\frac{7x+4}{3x^2+x+1}dx\\
\\
Completando\;quadrado\;no\;denominador:\\
\\
3x^2+x+1\;\;=\;\;3\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{12}\\
\\
-2\int\;\frac{7x+4}{3\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{12}}dx\\
\\
-\frac{2}{3}\int\;\frac{7x+4}{\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{36}}dx\\
\\
Utilizando \;o \;metodo\; da\; substituicao:\\
\\
u=x+\frac{1}{6}\\
du=dx\\
\\
-\frac{2}{3}\int\;\frac{7u+\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx\\
\\
-\frac{2}{3}\left(\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx+\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx\right)

-\frac{2}{3}\left(\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx+\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx\right)\\
\\
pela\;tabela\;de\;integrais:\\
\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx=\frac{17}{6}.\frac{1}{\sqrt{\frac{11}{36}}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)=\frac{17}{\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)\\
\\
\\Por \;substituicao:\\\\
\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx=\frac{7}{2}\int\;\frac{2dx}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}=\frac{7}{2}ln\left|u^2+\frac{11}{46}\right|

-\frac{2}{3}\left(\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx+\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx\right)\\
\\
pela\;tabela\;de\;integrais:\\
\int\;\frac{\frac{17}{6}}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx=\frac{17}{6}.\frac{1}{\sqrt{\frac{11}{36}}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)=\frac{17}{\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)\\
\\
\\Por \;substituicao:\\\\
\int\;\frac{7u}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}dx=\frac{7}{2}\int\;\frac{2dx}{\left(u\right)^2+\frac{11}{36}}=\frac{7}{2}ln\left|u^2+\frac{11}{46}\right|
\\\\
Juntando\; tudo,\; temos:\\
\\
\int\;\frac{5}{x}dx-\frac{2}{3}\left(\frac{17}{\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)\;+\;\frac{7}{2}ln\left|u^2+\frac{11}{46}\right|\right)\\
\\
5.ln|x|-\frac{34}{3\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{u}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)-\frac{21}{4}ln\left|u^2+\frac{11}{46}\right|\right)
\\
\\
Voltando \;a \;substituicao\; de\; u:
\\

5.ln|x|-\frac{34}{3\sqrt{11}}.arctg\left(\frac{x+\frac{1}{6}}{\sqrt{\frac{11}{36}}}\right)-\frac{21}{4}ln\left|\left(x+\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{46}\right|\right)

Confira os calculos!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?



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