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[Limites de Integração] Como achar os limites de integração?

[Limites de Integração] Como achar os limites de integração?

Mensagempor Miine_J » Sáb Nov 10, 2018 03:13

Boa noite pessoal.
Então, estou tendo muita dificuldade de achar limites de integração depois de feita uma mudança de variáveis, porque nem sempre sei qual o gráfico que a mudança gera nem sei como se deveria calcular algebricamente. Vejo o pessoal fazendo certos calculos pra achar, mas n entendo qual a lógica, se alguém pudesse explicar seria ótimo. Um exemplo em que não sei como calcular:

1. Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:

\int_{1}^2 \int_{0}^x (x^2+y^2)^{-1}  dydx

Os exemplos mais "triviais" são okay, mas esses exemplos q precisa de algum calculo ou coisa do tipo n entendo como deve ser feito. Pensei em substituir x^2+y^2 por r^2 mas sinceramente n sei oq fzr dps dai
Miine_J
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Re: [Limites de Integração] Como achar os limites de integra

Mensagempor Gebe » Sáb Nov 10, 2018 17:36

Antes, convém lembrar que em coordenadas polares:
\\
x=rcos(\theta)\\
y=rsen(\theta)\\
\sqrt[]{x^2+y^2}=r\\
dxdy=rd\theta dr

Temos duas formas para avaliar essa integral, uma é redesenhar a figura a partir das integrais dadas e então reescrever as integrais nas novas coordenadas, já a outra forma é fazer a substituição das variaveis diretamente.
A segunda normalmente é menos trabalhosa, mas nem sempre.

Vamos fazer utilizando a susbstituição.

Como tu sugeriu, a função fica 1/r², precisamos então mudar os limites.

Os limites da variavel "y" são [0 , x], logo:
\\
0\leq y\leq x\\
Substituindo:\\
0\leq rsen\theta \leq rcos\theta\\
\\
O\;limite\;à\;esquerda\;permanece\;inalterado\;(origem\;do\;sistema)\\
À \;direita:\\
rsen\theta \leq rcos\theta\\
\theta \leq \frac{\pi}{4}

Agora passamos para os limites de "x", [1 , 2]:


Agora podemos montar as integrais:
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r^2}rd\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r}d\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\left\frac{\theta}{r}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} dr
\\
\frac{\pi}{4}\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\frac{1}{r} dr\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left|2\sqrt[]{2} \right|-ln\left|\sqrt[]{2} \\
\\\right| \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left(2\sqrt[]{2} \right)-ln\left(\sqrt[]{2} \\
\\\right) \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}ln(2)

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.
Gebe
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Re: [Limites de Integração] Como achar os limites de integra

Mensagempor Miine_J » Dom Nov 11, 2018 08:17

Gebe escreveu:
Agora podemos montar as integrais:
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r^2}rd\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r}d\theta dr\\
\\
\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\left\frac{\theta}{r}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} dr
\\
\frac{\pi}{4}\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\frac{1}{r} dr\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left|2\sqrt[]{2} \right|-ln\left|\sqrt[]{2} \\
\\\right| \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}\left(ln\left(2\sqrt[]{2} \right)-ln\left(\sqrt[]{2} \\
\\\right) \right)\\
\\
\frac{\pi}{4}ln(2)

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.


Sim, obrigada, ajudou sim!
Miine_J
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.