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[Cálculo III - Equações Diferenciais] Variáveis Separáveis

[Cálculo III - Equações Diferenciais] Variáveis Separáveis

Mensagempor leticiaeverson » Dom Ago 19, 2018 16:39

Utilize a técnica das variáveis separáveis para calcular:


a) y' = xy/(1+x²)

b) y' = xy / 1+x²

c) x cos y dy = (x+1) sen y dx
leticiaeverson
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Re: [Cálculo III - Equações Diferenciais] Variáveis Separáve

Mensagempor DanielFerreira » Sex Set 13, 2019 16:00

leticiaeverson escreveu:Utilize a técnica das variáveis separáveis para calcular:

a) y' = xy/(1+x²)


\\ \displaystyle \mathsf{y' = \frac{xy}{(1 + x^2)}} \\\\\\ \mathsf{\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{x}{1 + x^2}} \\\\\\ \mathsf{\frac{dy}{y} = \frac{x}{1 + x^2} \, dx}

Por fim, basta integrar os dois lados da igualdade.

leticiaeverson escreveu:c) x cos y dy = (x+1) sen y dx


\\ \displaystyle \mathsf{x \cdot \cos y \, dy = (x + 1) \cdot \sin y \, dy} \\\\\\ \mathsf{\frac{\cos y}{\sin y} \, dy = \frac{x + 1}{x} \, dx} \\\\\\ \mathsf{\int \frac{\cos y}{\sin y} \, dy = \int \frac{x + 1}{x} \, dx} \\\\\\ \mathsf{(\cdots)}
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.