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[Questão] Teorema do Confronto dos Limites

[Questão] Teorema do Confronto dos Limites

Mensagempor elisafrombrazil » Sáb Jan 21, 2017 10:45

Utilie o Teorema do Confronto para provar que se a função f é limitada numa vizinhança de a e g satisfaz

\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0, então \lim_{x \rightarrow a} f(x) . g(x) = 0.
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Re: [Questão] Teorema do Confronto dos Limites

Mensagempor e8group » Qua Fev 01, 2017 17:14

Hey ! Dizer que f é limitada numa vizinhança de a means que existe uma cosnatante não negativa M e uma vizinhança V de a tal que |f(x)| \leq M para todo x \in V . Nota que |(g(x)| é sempre não negativo .... Daí, mutiplicando ambos lados da desiguladade por |g(x)| vem que
|g(x)| |f(x)| \leq M |g(x)| para todo x \in V ou ainda 0 \leq | f(x)g(x)|  \leq M |g(x)| para todo x \in V .

Daí é só passar ao limite com x \to a e notar que \lim_{x \to \text{ * } } | \cdots | = 0 \iff \lim_{x \to \text{ * } }  \cdots  = 0
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}