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Cálculo de limites trigonométricos

Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor lucas92 » Sex Abr 09, 2010 07:21

Oi, gente. Eu estava aqui tentando calcular esse limite:

{\lim_{x\rightarrow1}{\left(\frac{2(x-1)} {sen (\pi x)} \right)}^{2}

Encontrei zero como resultado baseado em esse ser um limite do produto de uma função limitada envolvendo seno, \frac{1}{{sen}^{2}\left(\pi x \right)} , por uma infinitésima cujo limite vai a zero, {\left[2\left(x-1 \right) \right]}^{2}. Só que para minha surpresa, no gabarito a resposta é \frac{4}{{\pi}^{2}} . Como eu chegaria a essa resposta? Não faço a mínima ideia.

Obrigado
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Neperiano » Sex Abr 09, 2010 11:03

Ola

lucas92 escreveu:Oi, gente. Eu estava aqui tentando calcular esse limite:

{\lim_{x\rightarrow1}{\left(\frac{2(x-1)} {sen (\pi x)} \right)}^{2}

Encontrei zero como resultado baseado em esse ser um limite do produto de uma função limitada envolvendo seno, \frac{1}{{sen}^{2}\left(\pi x \right)} , por uma infinitésima cujo limite vai a zero, {\left[2\left(x-1 \right) \right]}^{2}. Só que para minha surpresa, no gabarito a resposta é \frac{4}{{\pi}^{2}} . Como eu chegaria a essa resposta? Não faço a mínima ideia.

Obrigado



Primeiro corte tudo o que pode, ficara

(2(-1))^2 emcima
(sen(pi)) embaixo

Multiplique emcima e embaixo

(-2)^2
(senpi)

4/pi^2,

Quanto ao seno acredito que ele desaparece, ainda não sei explicar porque mas pesquisarei, espero ter ajudado
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Neperiano » Sex Abr 09, 2010 11:07

Ola

Ja axei

Lim sen(x)/x = 1
x-0

Ou seja no momento em quer cortar o x na questão automaticamente corte o seno tambem, o resultado sera 1

Atenciosamente
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Douglasm » Dom Abr 11, 2010 16:39

Olá lucas92. Para encontrar o limite abaixo, eu usei a regra de L'Hopital (assunto estudado em derivadas, caso haja duvidas sobre o método é só consultar um livro de cálculo). Comecemos:

Podemos observar que:

\lim_{x\rightarrow 1} [2(x-1)]^2 = 0 ; \lim_{x\rightarrow 1} sen^2 \pi x = 0

Essas são as condições necessárias para aplicarmos a regra de L'Hopital, e devemos agora derivar as equações (as derivamos separadamente, não utilizamos aqui a regra do quociente), mas primeiro vamos arrumá-las:

\lim_{x\rightarrow 1} {\left( {\frac{2(x-1)}{sen \pi x}} \right)^2 =

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)^2}{sen^2 \pi x}}\right)

Comecemos a derivar:

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)^2}{sen^2 \pi x}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4.2(x-1)}{2. \pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) =  \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right)

Agora vamos derivar mais uma vez (é importante prestar bastante atenção na derivada da função seno acima e na próxima em que deveremos aplicar a regra do produto):

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi .\pi (cos^2 \pi x - sen^2 \pi x)}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi^2  (cos2 \pi x )}}\right)

Finalmente:

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi^2  (cos2 \pi x )}}\right) = \frac{4}{\pi^2}

Obs: É importante lembrar que para podermos continuar derivando como fizemos nesse exercício a 1ª condição (a de que f(x)/g(x) seja uma indeterminação) seja satisfeita também para a derivada, como é o caso aqui.

\lim_{x\rightarrow 1} 4(x-1) = 0 ; \lim_{x\rightarrow 1} \pi . sen \pi x . cos \pi x = 0

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) = \frac{0}{0}

Caso tenha dúvidas sobre algum procedimento usado, me diga! Até a próxima.
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor lucas92 » Seg Abr 12, 2010 03:06

Oi gente, já consegui resolver o problema. Não fiz nada além de trocar a variável. Como o limite envolve uma função trigonométrica, temos que destrinchar esse limite par que apareça o limite trigonométrico fundamental: \lim_{x\rightarrow0}\frac{senx}{x} = 1.
Como no problema, a variável não tende a zero, tende a 1, vamos transformar a varíável x.

Fazendo x-1=t, temos que x=t+1. E se x\rightarrow1, então t\rightarrow0. Substituindo x-1 por t, e x por \left(t+1 \right), ficamos com:

\lim_{x\rightarrow1} {\left[\frac{2\left(x-1 \right)}{sen\left(\pi x \right)} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen\left[\pi \left(t+1 \right) \right] \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen \left(\pi t+\pi \right)} \right]}^{2} =

=\lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen \pi t.cos\pi+sen \pi .cos\pi t} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{-sen\pi t} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2t.\pi}{\left(-sen\pi t \right).\pi} \right]^{2} =

=\lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2\pi t}{\left(-sen\pi t \right).\pi} \right]^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{\left(-\pi \right)} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2}{-\pi} \right]^2 = \frac{4}{{\pi}^{2}}.

Valeu para quem me ajudou.
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Douglasm » Seg Abr 12, 2010 10:32

Olá lucas92. Olhei sua resolução e não entendi o último passo:

\lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{{- \pi}}\right)^2 = \lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{2}{{- \pi}}\right)^2

O resultado seria a indeterminação \frac{0}{0} (que não pode ser simplesmente cortada). Se falares do limite trigonométrico fundamental, ele é \lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x} = 1 e não \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sen x} (se observar a definição do limite trigonométrico, verá como nesse caso a função não tende a 1). E então como é isso?

Até a próxima.
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor lucas92 » Ter Abr 13, 2010 01:13

Douglasm escreveu:Olá lucas92. Olhei sua resolução e não entendi o último passo:

\lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{{- \pi}}\right)^2 = \lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{2}{{- \pi}}\right)^2

O resultado seria a indeterminação \frac{0}{0} (que não pode ser simplesmente cortada). Se falares do limite trigonométrico fundamental, ele é \lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x} = 1 e não \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sen x} (se observar a definição do limite trigonométrico, verá como nesse caso a função não tende a 1). E então como é isso?

Até a próxima.


Realmente, quando calculei esse limite

\lim_{t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen\pi t} \right)

subentendi, que ele daria 1. Observe:

Vamos pensar assim: se t\rightarrow0, então \pi t\rightarrow0, concorda? Aí ficamos com:

\lim_{t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen\pi t} \right) = \lim_{\pi t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen \pi t} \right) = \lim_{\pi t\rightarrow0} \left[\frac{1}{\frac{sen \pi t}{\pi t}} \right] = \frac{1}{1} = 1.

Então, repare que eu não simplesmente "cortei" a indeterminação do nada, simplesmente, subentendi algumas passagens para o cálculo do limite que realmente é 1.
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Douglasm » Ter Abr 13, 2010 10:10

Não havia me atentado a isso! Realmente está correto. Então do seu jeito ficou bem mais objetivo. =)

Bons estudos e até a próxima.
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.