Boa tarde preciso de uma orientação neste exercicio

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Mensagempor valdinei » Qua Nov 16, 2016 18:19

determine a taxa de variação de f no ponto P = (2,0) na direção que vai de P a Q = (1/2,2). em que direção, a partir de P , f tem a taxa máxima variação ? Por quê? justifique. Qual é esta taxa máxima de variação de f a partir de P?
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Re: Boa tarde preciso de uma orientação neste exercicio

Mensagempor adauto martins » Sex Nov 18, 2016 16:41

z=f(x,y) ...direçao PQ=(1/2-2,2-0)=(-3/2,2)...{u}_{PQ}=(-3/2,2)/(\sqrt[]{({-3/2})^{2}+({2})^{2}})......
a derivada direcional de PQ,sera:D(z)=(\partial f/\partialx,\partial f/\partialy)*{u}_{PQ},onde {u}_{PQ} é o vetor unitario na direçao de PQ,e * produto interno...
a direçao maxima de z=f(x,y),é dito gradiente de z=f(x,y),e é dado por:
G(z)=(\partial f/\partialx,\partial f/\partial y)(1/2,0)*{u}_{(x,y)}=\left|(\partial f/\partialx,\partial f/\partial y) (1/2,0) \right|...onde {u}_{(x,y)} é o vetor unitario da base canonica de (x,y)...
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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