Limites pela definição formal

por **ramoncampos** » Ter Nov 01, 2016 21:20

Boa noite Pessoal! Tudo bem com vocês?

Eu tenho um exercício que fiquei em dúvida, primeiramente, e aguardarei uma ajuda para a resolução. É o seguinte:

Prove que f(x) = x³ é contínua em p = 2

f(2) = 2³ = 8

Bom, por definição, para todo E > 0 , existe d > 0 tal que |x-2| < d => |f(x)-f(2)| < E .

Desenvolvendo |f(x)-f(2)| < E => |x^3-8| < E => |x^3-2^3| < E => |(x-2)*(x^2+2x+4)| < E => |x-2|*|x^2+2x+4| < E

Daí em diante não sei o que exatamente fazer. Por um livro, descobri que tenho que limitar |x^2+2x+4| porém não sei como fazer isto.

Obrigado a Todos! Bons Estudos!

Obs: E: epsilon e d: delta

por **adauto martins** » Qui Nov 03, 2016 12:04

a questao é:
$\lim_{x\rightarrow 2}{x}^{3}=8$ ...no formalismo:
dado $\epsilon \succ 0,\exists \delta\succ 0$ ,tal q. $\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \epsilon$ ...
temos q. x=2

é raiz do polinomio ${x}^{3}-8$ ,logo $({x}^{3}-8)/(x-2)={x}^{2}+2x+4\Rightarrow {x}^{3}-8=(x-2).({x}^{2}+2x+4)$ ... ${x}^{2}+2x+4$ ,nao tem raizes reais,pois $\Delta=-12\prec 0$ ,entao nao temos como reduzir o seu grau p/valores reais...logo:
$\left|{x}^{3}-8 \right|=\left|(x-2).({x}^{2}+2x+4) \right|\prec \delta.\left|{x}^{2}+2x+4 \right|$ ...
temos por hipotese q.: $\left|x \right|-2\prec \left|x-2 \right|\prec \delta$ ,desiqualdade triangular $\Rightarrow \left|x \right|-2\prec \delta\Rightarrow \left|x \right|\prec \delta +2$ ...portanto:
$\left|{x}^{2}+2x+4\right|\preceq {\left|x \right|}^{2}+2.\left|x \right|+4$ ,aqui tbem a des.triangular...
portanto:
$\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.({\left|x \right|}^{2}+2\left|x \right|+4)\prec \delta.({(\delta+2)}^{2}+2.(\delta+2)+4)\prec \epsilon...$ $\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.({\delta}^{2}+4\delta+12)\prec\epsilon$ ...pela def. p/um $\epsilon \succ 0$ dado existe pelo um $\delta \succ 0$ ,o qual procuramos o menor,ou seja $\delta=min[{\delta}_{1},{\delta}_{2},...]$ ...geralmente,e o mais correto é tomarmos $0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1$ ...logo se tomarmos um num. $1\prec N$ ,podemos ter:
$\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.N=\epsilon\Rightarrow \delta=\epsilon/N...$ ...o correto mesmo era resolver a inequaçao ${\delta}^{3}+4{\delta}^{2}+12\delta-\epsilon \prec 0$ e encontrar o menor $\delta=f(\epsilon)$ ,mas o exposto acima esta tbem correto...

por **ramoncampos** » Qui Nov 03, 2016 17:22

Muito obrigado! Mas o que significa esse min {d1,d2,...} ?

Obrigado!

por **adauto martins** » Sex Nov 04, 2016 11:11

em cada $\epsilon \succ 0$ dado,procuramos nos infinitos $\delta's\succ 0$ o menor $\delta$ possivel...ai escreve-se dessa forma $\delta=min[{\delta}_{1},{\delta}_{2}...]$ ,min[...] toma a conotaçao de menor dos deltas possiveis...