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Duvida Integral Definida

Duvida Integral Definida

Mensagempor douglasnickson » Dom Jul 03, 2016 01:39

Olá pessoal, estou com uma lista de exercicio da disciplina sinais e sistemas e me deparei com a seguinte questão:

se f é uma função par e contínua no intervalo [-a,a] então:

Imagem

Gostaria de saber como eu faço pra chegar no resultado, se possível digam o passo a passo e quais regras eu devo usar, e fundamental saber isso na disciplina.
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor e8group » Dom Jul 03, 2016 20:52

Lembre que uma função f (definida num dominio simetrico ) é dita ser par se f(x) = f(-x) para todo x . Faça o esboço do gráfico de alguns exemplos f(x) = x^2  ;  a = 2 , f(x) = cos(x) ;  a = \pi/2 para fixar ideias ..Qual o comportamento de função continua par genérica num compacto simétrico [-2,2] , [-5,5], -[20,20] ou [-a,a] ...O que significa \int_{-a}^{a} f(x) dx geometricamnete??? Corresponde a area com sinal da area delimitada pela gráfico da função , eixo x , e as retas verticais x = -a e x = a ... So para fixar ideias supor f(x) \geq 0 .. Chame a região de R .. Assim , Area(R) \equiv  \int_{-a}^{a} f(x) dx ..Esta região se decompõe como união de duas regiões R_1 , R_2 cuja interseção é uma região tem medida (area) nula .. Quem são elas ??
Logo pela atividade da integral Area(R) = Area(R_1) + Area(R_2) .. Observe que R_1 pode ser obtida reflexão como reflexão de R_2 sobre o eixo y R_1 \ni (x,y) \mapsto (-x,y)   \in R_2 ... Intuitivamente , Area(R_1) = Area(R_2) .. Logo Area(R) = 2 Area(R_1) = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx .. Isto é intuitivo e nos leva a conjeturar oq vc postou .. A prova por sua vez é bem simples .. Basta verificar que

\int_{-a}^0 f(x)dx = \int_{0}^{x} f(x) dx . Dica use o fato que f é par + faça uma subsituição u = -2x ...
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor douglasnickson » Dom Jul 03, 2016 22:37

Primeiramente valeu pelas dicas santhiago, então, a teoria eu atendi, mas não to conseguindo efetuar o passo a passo dos cálculos até chegar no resultado final, parte e separar a integral em dois intervalos ok, mas e depois o que eu devo fazer? tem alguma forma pra mim utilizar?
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor e8group » Dom Jul 03, 2016 22:53

Chame de L:=\int_{0}^{a} f(x) dx (Atenção a variável x é muda , de modo que L=  \int_{0}^{a}  f(u) du  =  \int_{0}^{a}  f(z) dz etc )
Vamos mostrar que \int_{-a}^{0} f(x) dx = L . Daí o resultado segue já que a integral de f sobre [-a,a] é a soma destas integrais .

Ora, se f é par , então f(x) = f(-x) para todo x , logo \int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(-x) dx .
Agora faça uma substituição u  = -x .Feito isto , verifique que (após trocar dx por -du e atualizar os limites de integração )
\int_{-a}^0 f(-x) dx = - \int_{a}^{0} f(u) du  = \int_{0}^{a} f(u) du = L .

Obs.: Vale um resultado análogo para ímpar no lugar de par , mas o valor da integral será zero .
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor douglasnickson » Dom Jul 03, 2016 23:53

Agora acho que entendi, ai no caso no final qnd trocar o U pelo -x por ser par eu posso fazer o processo inverso e voltar o x e o -du qnd eu trocar os limites cancela o menos não eh isso?
ai voltando pra x eu somo com a outra integral e da o resultado da questão correto?

Agora vou fazer pra parte impar que também pede, o processo e o mesmo neh?
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor adauto martins » Ter Jul 05, 2016 15:25

primeiramente mostrarei q. sendo f(x) uma funçao par,teremos:
a)
\int_{-a}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx...de fato,pois
\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{-(-a)}^{0}f(-x)dx=-\int_{a}^{0}f(-x)dx=\int_{0}^{a}f(-x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx...
entao...
I=\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx,por a)teremos entao:
I=\int_{0}^{a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=2.\int_{0}^{a}f(x)dx...
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?