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por Daniel Bosi » Seg Mai 16, 2016 22:20
Olá pessoal!
Não estou conseguindo entender o seguinte problema:
Suponhamos que
para todo
e que o limite
existe. Mostre que se
, então
.
Em primeiro lugar, não consigo interpretar o que seria o índice n do
tendendo a infinito. Significa algum valor muito grande? Posso considerar o
como sendo "infinito" (e nesse caso o resultado L do limite seria 1)? A seguir, o que significa mostrar que o limite é menor que 1? Como mostrar que ele tende a zero?
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Daniel Bosi
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por Daniel Bosi » Qui Mai 19, 2016 11:23
Amigos, talvez eu tenha colocado essa questão dentro da
área errada, já que após refletir mais sobre o problema percebo que este limite é o limite de uma sequência, e não de uma função.
O que eu tenho pensado é: para mostrar que se o limite é menor que um, a sequência indo a infinito converge para zero sugere que, na prática, uma sequência do tipo
seria um dos exemplos dessa situação. Porém, uma vez que a questão pede uma demonstração rigorosa e geral, estou com dificuldade de organizar uma linha de raciocínio.
Apenas para organizar um raciocínio, pensando especificamente no exemplo da sequência
e substituindo no primeiro limite:
considerando que
que converge inferiormente para 1.
Se alguém tiver alguma sugestão de como eu posso estruturar essa demonstração fico no aguardo!
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Daniel Bosi
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por e8group » Qui Mai 19, 2016 20:27
Começamos com um resultado :
Seja
uma sequencia de termos positivos . Suponhamos que exista uma sequencia
convergente para zero (i.e, (*)
) (Notação :
ou
) tal que a parti de um certo índice
, todos termos
, com
não excede a
, i.e,
, então a sequencia
tbm converge para zero .
Dicas p prova : Use a hipótese de
. Use a definição (*) . Depois tome M como o máximo entre n_0 e N . Observe que para todo n maior igual a M vc terá valida (*) e tbm a segunda desigualdade que majora os c_n's , com n > N .
.
Seu exercício segue como um corolário do resultado acima : Defina
. Por hipótese
converge para
. Suponhamos que
. Nota que
Fixemos um número que
. Como (c_n) converge para L , podemos encontrar
tal que
vale sempre que
.
Logo , para todo
. Donde , para todo
,
. Em virtude desta desigualdade (recursiva ) nota o seguinte :
(...)
.
Não é dificil provar por indução que vale
.
Chame
e ponha
.
Exercício : Mostre que
e conclua que
.
Obs.:
"
Em primeiro lugar, não consigo interpretar o que seria o índice n do {a}_{n} tendendo a infinito. Significa algum valor muito grande? Posso considerar o {a}_{n} como sendo "infinito" (e nesse caso o resultado L do limite seria 1)? A seguir, o que significa mostrar que o limite é menor que 1? Como mostrar que ele tende a zero? "
Uma sequência num conjunto
é meramente uma função
, em que denotamos a imagem de
por
por
ao invés da notação tradicional
. Para denotar esta função especial simplesmente escrevemos
ou
ou simplesmente
. Note que
é só um conjunto .Exemplos :
i) Consideremos um circulo unitário S contido no
. Dado um número natural
. Denote o (único ) polígono regular
inscrito no circulo S . ( Por exemplo , P_3 é um triangulo equilátero , P_4 Quadrado , .... ) . Seja X o conjunto de todos estes polígonos P_n . Nota que a correspondência ,
define uma aplicação
, i.e.,
é uma sequencia cujo o n-esimo termo é dado por
. Observe que a medida que n cresce , o polígono fica cada vez mais 'parecido' com o circulo S ... Este comportamento nos leva a conjectura que esta sequencia converge para o circulo
em notação isto seria dizer
. Mas infelizmente , a priori , não podemos responder esta questão . Para tal deveríamos introduzir em X , uma topologia , onde X munido desta topologia seria o que chamamos de
espaço topológico , onde poderíamos responder com precisão se tal sequencia convergiria ou não para o Circulo .
ii) Seja
o conjunto de todos os primos em
então existe uma (única ) bijeção crescente
, i.e ,
é uma sequencia em
crescente
. Pela infinitude dos números primos esta sequência não pode ser limitada , logo em particular tal sequencia não é convergente ,
.
iii) Seja
. Observe que para cada
,
é uma número racional . Esta correspondência define uma sequencia
em
a qual nao converge em
. Mas , converge em
.
iV) Seja
uma função tal que
.(limite usual calculo 1) . Note que esta função restrita a
é uma sequência
em
dada por
.
É possível mostrar sem dificuldade que esta sequência tbm converge para 2 .
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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