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[Calculo] Calcular a seguinte integral imprópria.

[Calculo] Calcular a seguinte integral imprópria.

Mensagempor karenfreitas » Qua Mai 04, 2016 14:36

Calcular o valor de A, onde A = \frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx

Usar x^3 = t \rightarrow  3x^2 dx = dt
DEsde já agradeço quem puder ajudar a resolver esse problema.
karenfreitas
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Re: [Calculo] Calcular a seguinte integral imprópria.

Mensagempor nakagumahissao » Sex Mai 06, 2016 00:54

A = \frac{9{a}^{2}}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx\;\;\;\;\;\;\;[1]

Fazendo-se a substituição:

{x}^{3} = t \Rightarrow dt = 3{x}^{2}dx

para:

x \neq 0

e

t \neq -1


tem-se que:

\frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx =  \frac{{x}^{2}}{{x}^{2}{\left(1+t \right)}^{2}} dt = \frac{1}{{\left(1 + t \right)}^{2}}dt

a integral desta fração seria:

\int  \frac{1}{{\left(1 + t \right)}^{2}}dt

utilizando-se da seguinte substituição

u = 1 + t \Rightarrow du = dt,

poderiamos resolver a integral acima da seguinte maneira:

\int  \frac{1}{{\left(1 + t \right)}^{2}}dt = \int \frac{1}{{u}^{2}}du = \int {u}^{-2}du = \frac{{u}^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3}\frac{1}{{u}^{3}} = -\frac{1}{3 {\left(1 + t \right)}^{3}} =

Mas,

{x}^{3} = t

Logo,

= -\frac{1}{3 {\left(1 + t \right)}^{3}} = -\frac{1}{3 {\left(1 + {x}^{3} \right)}^{3}}\;\;\;\;\;\;[2]

Finalmente, utilizando-nos dos conhecimentos de integrais impróprias e usando [2] em 1, teremos:

A = \frac{9{a}^{2}}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx = \frac{9{a}^{2}}{2} \lim_{m\rightarrow \infty} \int_{0}^{m} \frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx =

= \frac{9{a}^{2}}{2} \lim_{m\rightarrow \infty}  \left[-\frac{1}{3 {\left(1 + {x}^{3} \right)}^{3}} {|}_{0}^{m} \right] = \frac{9{a}^{2}}{2}\left(-\frac{1}{3} \right) \lim_{m\rightarrow \infty}  \left[-\frac{1}{{\left(1 + {x}^{3} \right)}^{3}} {|}_{0}^{m} \right] =

= -\frac{3{a}^{2}}{2} \lim_{m\rightarrow \infty}  \left[-\frac{1}{{\left(1 + {x}^{3} \right)}^{3}} {|}_{0}^{m} \right] = -\frac{3{a}^{2}}{2}\left(-0 + 1 \right) = -\frac{3{a}^{2}}{2}

Que é o resultado procurado, portanto:

A = \frac{9{a}^{2}}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx = -\frac{3{a}^{2}}{2}

Espero não ter errado nos cáculos, mas a idéia básica é essa.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)