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taxas relacionadas derivada

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Mensagempor JoaoLuiz07 » Seg Fev 08, 2016 16:17

Calcule a area maxima de um trapezio inscrito em um semi circulo de raio R,
de uma forma que a base inferior do trapezio seja o diametro do semi circulo
JoaoLuiz07
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Re: taxas relacionadas derivada

Mensagempor adauto martins » Dom Fev 28, 2016 13:11

sejam os pontos A,B,C,D q.interceptam a semi-circun. no sentido horario..e seja O o ponto central da semi-circunf....
vamos tomar o triangulo BEO,dentro do trapezio,onde E e o ponto de projeçao de B, sobre a reta AD(diametro da circunf.)...vamos chamar de x=BC(lado menor do trapezio) e y=BE altura...faremos assim pra tomar x=f(y) p/ podermos derivar...logo...
{r}^{2}={y}^{2}+{(2r-x)}^{2}\Rightarrow y=\sqrt[]{{r}^{2}-{(2r-x)}^{2}}...
a area de do trapzio sera:
A=(2r+x/2).(\sqrt[]{{r}^{2}+({(2r-x)}^{2}})\Rightarrow dA/dx=(1/2).\sqrt[]{({r}^{2}-({(2r-x)}^{2}}+(2r+x/2)d/dx(\sqrt[]{{r}^{2}-({2r-x)}^{2}})=0(usei derivada da regra do produto)...dessa expressao encontra-se x=f(r) e substtitui na formula da area A...
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}