Calcule f(x)

por **kjelin** » Ter Fev 02, 2016 01:39

Sabe-se que f??(x) = xlnx e que f?(1) = f(1) = 0. Calcule f(x).

por **DanielFerreira** » Seg Fev 08, 2016 16:47

Olá Kjelin, seja bem-vindo!

De acordo com o enunciado, $f''(x) = x \cdot \ln x$ ; se integrarmos cada lado da igualdade ficamos com $f'(x) + c_1 = \int x \cdot \ln x \, dx$ .

Encontramos a função derivada primeira resolvendo a integral $\int x \cdot \ln x \, dx$ por partes.

Considerando $f(x) = \ln x$ e g'(x) = x dx

temos que: $f'(x) = \frac{1}{x} \, dx$ e $g(x) = \frac{x^2}{2}$ .

$\\ \int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx \\\\ (...) \\\\ \int x \cdot \ln x \, dx = \frac{x^2 \cdot \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + c_2$

Por conseguinte, $f'(x) = \frac{x^2 \cdot \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + c_2 - c_1$ .

Da condição f'(1) = 0

, tiramos que $c_2 - c_1 = \frac{1}{4}$ . Então, temos que: $\boxed{f'(x) = \frac{x^2 \cdot \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}}$ .

A fim de encontrar a função

, aplicamos raciocínio análogo ao anterior; ou seja, integramos cada lado da igualdade...

$\\ f(x) + c_3 = \int (\frac{x^2 \cdot \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}) \, dx \\\\\\ f(x) + c_3 = \frac{x^3 \cdot \ln x}{6} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{12} + \frac{x}{4} + c_4$

Obs1.: o primeiro termo do integrando acima foi obtido aplicando uma nova integração por partes;
Obs2.: de f(1) = 0

, tiramos que $c_4 - c_3 = - \frac{1}{9}$ .

Por fim, concluímos que $\boxed{\boxed{f(x) = \frac{x^3 \cdot \ln x}{6} - \frac{5x^3}{36} + \frac{x}{4} - \frac{1}{9}}}$

Calcule f(x)

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