Questões de Derivada

por **GabrielM93** » Dom Jun 14, 2015 02:24

1. A parábola y=x²+C deve ser tangente à reta y=x. Calcule C. (Obs.: tentei igualar a derivada do primeiro y igual a x, porém eu encontrarei a derivada de C', e não C)

2. Mostre que a reta normal, em qualquer ponto do círculo x²+y²=a² passa pela origem.

Obrigado.

por **nakagumahissao** » Sáb Jul 18, 2015 12:39

1. A parábola y=x²+C deve ser tangente à reta y=x. Calcule C.

Sabendo-se que a derivada da equação da parábola nos dará a inclinação da reta passando em qualquer ponto da parábola e sabendo-se também que esta inclinação deverá ser o mesmo que o da reta dada num determinado ponto, tem-se que:

$y = x^2 + C \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 2x$

$y = x \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 1$

Logo,

$2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

A reta tocará na parábola quando x for 1/2 e y for 1/2, ou seja, no ponto (1/2, 1/2). Usando estes valores na equação da parábola teremos:

$y = x^2 + C \Rightarrow \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2} \right) ^2 + C$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = C \Rightarrow C = \frac{2-1}{4} \Rightarrow C = \frac{1}{4}$

Assim a equação da parábola ficará:

$y = x^2 + \frac{1}{4}$

2. Mostre que a reta normal, em qualquer ponto do círculo x²+y²=a² passa pela origem.

Usando o cálculo 2, mais precisamente o conceito de Gradiente, tem-se que:

z = x^2 + y^2 - a^2

$\nabla z = \frac{\partial z}{\partial x}i + \frac{\partial z}{\partial y}i$

$\nabla z = 2xi + 2yj$

Que por sua vez são as próprias retas x e y que sempre passam por (0,0) como queríamos demonstrar.

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