[Teorema do Residuo de Cauchy]

por **Gebe** » Qua Jun 03, 2015 23:27

Ola, estou tendo dificuldades com alguns exercicios sobre integração complexa utilizando o teorema de residuos de Cauchy. Havia conseguido resolver todos sem muitas dificuldades até chegar em 5 exercicios um pouco diferentes. Até o momento apareciam apenas integrais onde a função era complexa e a regiao (contorno) onde estava definida (pelo exercicio) era complexa, porém nestes ultimos, como mostro abaixo, tem uma função complexa e um contorno real.

Tentei resolver as questões utilizando apenas os residuos das singularidades reais, que estavam dentro do contorno, mas as respostas não conferem para nenhuma.
Segue abaixo alguns exemplos e minha tentativa de resolução:

Integrais que normalmente apareciam:
$\oint_{C}^{} \frac{1}{{z}^{2}+4z+13}dz , C:|z-3i|=3$

Integrais que estou tendo problemas:
$\oint_{C}^{} cotg(\pi z)dz$ C é o retangulo definido por x=\frac{1}{2},x=\pi ,y=-1,y=1

Tentativa de resolução:
Singularidades reais dentro do contorno: z=1 , z=2 , z=3

$\oint_{C}^{} cotg(\pi z)dz$ = $2\pi i.\sum_{}^{}( res(f(z),1)+res(f(z),2)+res(f(z),3) )$

$\oint_{C}^{} cotg(\pi z)dz$ = $2\pi i$ ( $\lim_{z\rightarrow1}(z-1)cotg(z\pi) + \lim_{z\rightarrow2}(z-2)cotg(z\pi)+\lim_{z\rightarrow3}(z-3)cotg(z\pi)$ )

$\oint_{C}^{} cotg(\pi z)dz$ = $2\pi i . (\frac{1}{\pi} + \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{3\pi}) = \frac{22i}{6}$

No entanto a resposta certa é 6i. Por que?
Se alguem puder me ajudar, agradeço.
Ps.: Tenho mais exemplos se alguem precisar.

por **adauto martins** » Ter Mar 01, 2016 10:41

a regiao de integraçao sera:
$\left|z-3i \right|=\left|x+(y-3)i \right|=3\Rightarrow ({x}^{2}+({y-3)}^{2})=9...$
uma circunferencia de centro (0,3) e raio r=3 e estao dentro da regiao de integraçao...
os polos serao... ${z}^{2}+4z+13=(z-(-2+3i)).(z-(-2-3i))...{z}_{0}=-2+3i,{z}_{1}=-2-3i...$
q. sao polos simples de ordem 1...entao...
$R(f,{z}_{0})=\lim_{z\rightarrow {z}_{0}}((z-{z}_{0}).f(z))=\lim_{z\rightarrow {z}_{0}}(z-{z}_{0}).1/((z-{z}_{0}).(z-{z}_{1}))=\lim_{z\lim_{{z}_{0}}}.1/(z-{z}_{1})=1/({z}_{0}-{z}_{1})$ $\Rightarrow R(f,{z}_{0})=1/(-2+3i-(-2-3i))=1/6i...$ ...o mesmo raciocinio se aplica ao polo ${z}_{1}$ ,q. tera $R(f,{z}_{1})=-1/6i$ ...logo o valor da integral sera... $I=2.\pi.i(R(f,{z}_{0})+R(f,{z}_{1})=2.\pi.i((1/6i)-(1/6i))=0$