Encontrar Fórmulas de Física com Integrais

por **Josi** » Ter Mar 16, 2010 22:21

Num trabalho foi dada a seguinte questão:
Uma partícula, em movimento unidimensional, possui aceleração a=-3x (m/s²). Sabendo-se que no tempo t=0s, V=0 e X=0, encontre equações para a velocidade e posição para qualquer instante de tempo. Calcule o deslocamento entre t=1s e t=3s.

Como a aceleração não é constante, sei que são válidas apenas as relações gerais, tentei achar primeriamente a equação da velocidade usando a relação $a=V.\frac{dV}{dx}$ , substituindo a por -3x, pode se fazer a separação de variáveis e encontra-se a seguinte integral: $\int_{0}^{x}-3x.dx = \int_{0}^{V}V.dv$ , o problema é que ao resolvê-la no final encontro uma raiz de número negativo.

Por favor, me ajudem, tenho que entregar o trabaho até sexta-feira.

por **Molina** » Ter Mar 16, 2010 22:46

Boa noite, Josi.

Acho que o que ele quer é que você use as propriedades de derivada e integral, dado a aceleração.

Sabemos que a derivada da posição é a velocidade. E a derivada da velocidade é a aceleração. Então fazendo o trajeto contrário, temos que a integral da aceleração é a velocidade. E a integral da velocidade é a posição.

Fazendo isso você encontrará a equação geral da velocidade e da posição.

Só confirme se a aceleração é mesmo a=-3x

ou

, já que t é a unidade de tempo e x a de posição.

Depois tento colocar as contas.

Estou de saída.

:y:

por **Josi** » Qua Mar 17, 2010 21:35

A aceleração é a=-3x mesmo. Hoje juntamos um grupo na escola e tentamos fazer novamente e chegamos nos seguintes cálculos:

$\int_{0}^{x}-3x.dx = \int_{0}^{V}V.dV$

$\frac{{-3x}^{2}}{2}=\frac{{V}^{2}}{2}$

$\left({-3x}^{2} \right)^{2} = \left({V}^{2} \right)^{2}$

${9x}^{4}={V}^{4}$

$V=x.\sqrt[4]{9}$

Não sei se está certo elevar os dois membros ao quadrado para sumir o negativo, mas foi a única alternativa que pensamos.

Em seguida, para fazer a outra integral, os cálculos seguiram-se assim:

$V=\frac{dx}{dt}$

$\sqrt[4]{9}.x=\frac{dx}{dt}$

$dt=\frac{dx}{1,73x}$

$\int_{0}^{t}dt=\int_{o}^{x}\frac{dx}{1,73x}$

$t=\frac{1}{1,73}.\left(ln x - ln 0\right)$

O problema é que chegamos em outra indeterminação, afinal ln 0 não existe.
Neste ponto paramos outra vez. Se vc tiver uma solução eu ficarei muito grata.